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第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航第9节函数模型及其应用最新考纲1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.返回导航【教材导读】1．函数模型应用常见的有哪三种情形？提示：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．返回导航2．应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些？提示：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．返回导航1．三种函数模型性质比较y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同返回导航2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx(k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)返回导航对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a0)返回导航3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．返回导航以上过程用框图表示如下：返回导航【重要结论】1．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．2．随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n0)的增长速度，而y＝logax(a1)的增长速度则会越来越慢．3．总会存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxnax.返回导航1．往外埠投寄平信，每封信不超过20g，付邮费0.80元，超过20g而不超过40g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20g需增加邮费0.80元(信的质量在100g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5g，则他应付邮费()(A)3.20元(B)2.90元(C)2.80元(D)2.40元A解析：由题意得20×3＜72.5＜20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A.返回导航2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()返回导航B解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.返回导航3．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()(A)200只(B)300只(C)400只(D)500只A解析：由已知得100＝alog3(2＋1)，得a＝100，则当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．返回导航4．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．返回导航解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2000＝(40Q－120Q2)－10Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500，所以当Q＝300时，L(Q)max＝2500(万元)．答案：2500返回导航5．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．返回导航解析：已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N.答案：y＝a(1＋r)x，x∈N返回导航考点一一次函数、二次函数模型某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为1206t吨(0≤t≤24)，(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．返回导航解析：(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－1206t；令6t＝x，则x2＝6t，即y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池存水量最少，只有40吨．(2)令400＋10x2－120x＜80，即x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8，即4＜6t＜8，83＜t＜323.因为323－83＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．返回导航【反思归纳】(1)在实际问题中，有很多问题的两个变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．(2)有些问题的两个变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数的图象与单调性解决．(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．返回导航考点二指数函数、对数函数与幂函数模型某县目前有100万人，经过x年后有y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．返回导航解析：(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；……故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．返回导航(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x年后该县的人口总数为120万，则100×(1＋1.2%)x＝120，所以x＝log1.012120100≈16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万．返回导航【反思归纳】(1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．返回导航【即时训练】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3Q10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速率为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？返回导航解析：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为30个单位时，速度为1m/s，故a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组a＋b＝0，a＋2b＝1，得a＝－1，b＝1返回导航(2)由(1)知，v＝a＋blog3Q10＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3Q10≥2，即log3Q10≥3，解得Q10≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．返回导航考点三分段函数模型据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即t(h)内台风所经过的路程s(km)．返回导航(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．返回导航解析：(1)由图像可知，直线OA的方程是v＝3t，直线BC的方程是v＝－2t＋70.当t＝4时，v＝12，所以s＝12×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝12×t×3t＝32t2；当10＜t≤20时，s＝12×10×30＋(t－10)×30＝30t－150；当20＜t≤35时，s＝150＋300＋12×(t－20)×(－2t＋70＋30)＝－t2＋70t－550.返回导航综上可知，s随t变化的规律是s＝32t2，t∈[0，10]，30t－150，t∈（10，20]，－t2＋70t－550，t∈（20，35].(3)当t∈[0，10]时，smax＝32×102＝150＜650，当t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450＜650，当t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得t＝30或t＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N城．返回导航【反思归纳】(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起．要注意各段变量的范围，特别是端点值．(2)分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小．返回导航【即时训练】(2018·上海宝山区一模)王先先购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络月租费本地话费长途话费甲：联通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若用联通130应最少打__________秒长途电话才合算．返回导航解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x分钟，所需话费为y元，若使用联通130，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝12＋0.36×5x＋3.6x＝5.4x＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝0.6×5x＋4.2x＝7.2x.若用联通130合算，则5.4x＋12≤7.2x，解得x≥203(分钟)＝400(秒)．答案：400返回导航利用函数模型解决实际问题已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元，设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销