2020版高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课件 文 新人教A版

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航第8节函数与方程最新考纲(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．(2)根据具体函数的图象，能用二分法求相应方程的近似解.返回导航【教材导读】1．当函数y＝f(x)在(a，b)内有零点时，是否一定有f(a)f(b)0?提示：当函数y＝f(x)在(a，b)内有零点时，不一定有f(a)·f(b)0，例如：f(x)＝x2在区间(－1，1)内有零点0，却有f(－1)·f(1)0.返回导航2．函数y＝f(x)在[a，b]上图象是连续不断的、单调的，且f(a)·f(b)0，那么它在[a，b]上有多少个零点？提示：只有1个零点．返回导航1．函数的零点函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．返回导航函数零点存在的判定方法函数f(x)图象在[a，b]上连续不断，若f(a)f(b)＜0，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点．函数存在零点的判断方法解方程f(x)＝0利用端点函数值异号判断数形结合返回导航2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210返回导航【重要结论】1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)一定有零点．特别是，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点．返回导航2.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．返回导航1．(2017黄山一模)函数f(x)＝lgx－1x的零点所在的区间是()(A)(0，1)(B)(1，2)(C)(2，3)(D)(3，10)返回导航C解析：函数f(x)＝lgx－1x在定义域(0，＋∞)上连续且单调递增，f(2)＝lg2－12＝lg2－lg100，f(3)＝lg3－lg3100，所以f(2)·f(3)0，函数f(x)＝lgx－1x的零点所在的区间是(2，3)．返回导航2．(2018郑州质检)函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3D解析：注意到f(－1)×f(0)＝12×(－1)＜0，因此函数f(x)在(－1，0)内必有零点，又f(2)＝f(4)＝0，因此函数f(x)的零点个数是3，故选D.返回导航3．函数f(x)＝lnx＋2x－1的零点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3B解析：f(x)在定义域上为单调函数，故选B.返回导航4．函数f(x)＝e－x－x的零点所在的区间为()(A)－1，－12(B)－12，0(C)0，12(D)12，1返回导航D解析：函数f(x)＝e－x－x的图像是连续的，且：f(－1)＝e1－(－1)＝e＋1＞0，f－12＝e12＋12＝e＋12＞0，f(0)＝e0－0＝1＞0，返回导航f12＝e－12－－12＝1e＋12＞0，f(1)＝e－1－1＝1e－1＜0，由函数零点存在定理可得函数点所在的区间为12，1.故选D.返回导航5．若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－log12|x|的零点个数是()(A)5个(B)4个(C)3个(D)2个返回导航D解析：如图：函数f(x)与函数g(x)＝log12|x|有2个交点，所以选D.返回导航考点一函数零点所在区间(1)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()(A)(01)(B)(1，2)(C)(2，3)(D)(3，4)(2)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈____________，第二次应计算________，这时可判断x0∈________．返回导航解析：(1)函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图像是一条连续曲线．又f(1)＝－1＜0，f(2)＝log32＞0，f(3)＝2＞0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．返回导航(2)由二分法知x0∈(0，0.5)，取x1＝0.25，这时f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1＜0，故x0∈(0.25，0.5)．答案：(1)B(2)(0，0.5)f(0.25)(0.25，0.5)返回导航【反思归纳】判断函数零点个数的3种方法(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．返回导航【即时训练】(1)已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2，2)内恰有一个零点，则m的取值范围是()(A)－38，18(B)－38，18(C)－38，18(D)－18，38(2)若x0是函数f(x)＝2x－x－3的零点，则[x0](表示不超过x0的最大整数)的值为________．返回导航解析：(1)当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2，2)内恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)＜0或②f（－2）＝0，－2＜14m＜0或③f（2）＝0，0＜14m＜2.解①得－18＜m＜0或0＜m＜38；解②得m∈∅，解③得m＝38.返回导航综上可知－18＜m≤38故选D.(2)函数f(x)＝2x－x－3的零点即函数y＝2x与y＝x＋3的交点的横坐标．因为f(－3)·f(－2)＝18×(14－1)0，f(2)·f(3)＝(－1)×2＝－20.所以x0∈(－3，－2)或x0∈(2，3)，所以[x0]的值为－3或2.答案：(1)D(2)－3或2返回导航考点二函数零点个数的判断(1)已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋3)＝f(x＋1)，且x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数是()(A)3(B)4(C)5(D)6返回导航(2)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x＞0的零点个数为()(A)3(B)2(C)7(D)0解析：(1)B由f(x＋3)＝f(x＋1)知f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期为2的函数，在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝log5x的图象，可以看出，交点个数为4.故选B.返回导航(2)B解法一由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0或x＞0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．返回导航解法二函数f(x)的图像如图所示，由图像知函数f(x)共有2个零点．返回导航【反思归纳】判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法(1)直接法．令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在的判定方法．判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．(3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)．返回导航【即时训练】(2017佳木斯一模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4返回导航解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，返回导航所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3.分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3个．故选C.返回导航考点三函数零点的应用考查角度1：根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数取值范围．已知a是实数，函数f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．返回导航解析：由题意易知a≠0，令f(x)＝0，即2a|x|＋2x－a＝0，变形得|x|－12＝－1ax，分别作出函数y1＝|x|－12，返回导航y2＝－1ax的图像，如图所示．由图易知，当0＜－1a＜1或－1＜－1a＜0，即a＜－1或a＞1时，y1和y2的图像有两个不同的交点，所以当a＜－1或a＞1时，函数y＝f(x)有且仅有两个零点，即实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)返回导航【反思归纳】根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数的取值范围，先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．返回导航考查角度2：已知函数的零点或方程根的个数求参数取值范围．对任意实数a，b定义运算＝b，a－b≥1，a，a－b＜1.设f(x)＝(x2－1)(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是()(A)(－2，1)(B)[0，1](C)[－2，0)(D)[－2，1)返回导航D解析：解不等式：x2－1－(4＋x)≥1，得：x≤－2或x≥3，所以，f(x)＝x＋4，x∈（－∞，－2]∪[3，＋∞），x2－1，x∈（－2，3）.函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点．返回导航如图，所以－1－k≤2，故－2≤k1.返回导航【反思归纳】已知函数零点或方程根的个数求参数的取值范围，先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，数形结合求解．返回导航考查角度3：利用函数零点比较大小．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－1x的零点依次为a，b，c，则()(A)a＜b＜c(B)c＜b＜a(C)c＜a＜b(D)b＜a＜c返回导航解析：在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－1x的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a＜b＜c.故选A.