搜索
第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航第7节函数的图象最新考纲1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题.返回导航【教材导读】若函数y＝f(x＋a)是偶函数(奇函数)，那么y＝f(x)的图象的对称性如何？提示：由y＝f(x＋a)是偶函数可得f(a＋x)＝f(a－x)，故f(x)的图象关于直线x＝a对称(由y＝f(x＋a)是奇函数可得f(x＋a)＝－f(a－x)，故f(x)的图象关于点(a，0)对称)．返回导航1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．返回导航2．图象变换(1)平移变换返回导航(2)对称变换①y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；②y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；③y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称；④y＝ax(a0且a≠1)与y＝logax(a0且a≠1)关于y＝x对称．返回导航(3)翻折变换①y＝f(x)――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.②y＝f(x)――→保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．返回导航(4)伸缩变换①y＝f(x)y＝f(ax)．②y＝f(x)――→a1，纵向伸长为原来的a倍0a1，纵向缩短为原来的a倍y＝af(x)．返回导航【重要结论】1．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．2．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点(a＋b2，0)中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．返回导航1．为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()(A)向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度(B)向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度(C)向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度(D)向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案：C返回导航2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程s看作时间t的函数，其图象可能是()答案：B返回导航3．函数f(x＋2)的图象关于直线x＝2对称，则函数f(x)的图象关于()(A)原点对称(B)直线x＝2对称(C)直线x＝0对称(D)直线x＝4对称答案：D返回导航4．已知下图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)．答案：④返回导航5．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是________．答案：(－1，0)返回导航考点一作函数的图象作出下列函数的图象．(1)y＝x2－2x(|x|＞1)；(2)y＝|x－2|·(x＋2)；(3)y＝2x－1x－1；(4)y＝|log2x－1|.返回导航解：(1)因为|x|＞1，所以x＜－1或x＞1，图像是两段曲线，如图．返回导航(2)函数式可化为y＝x2－4，x≥2，－x2＋4，x＜2，其函数图像如图返回导航(3)y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数图像可由函数y＝1x的图像向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图．返回导航(4)先作出函数y＝log2x的图像，再将该图像向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得到y＝|log2x－1|的图像，如图．返回导航【反思归纳】画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．提醒：可先化简函数解析式，再利用图象的变换作图．返回导航【即时训练】作出下列函数的图象：(1)y＝sin|x|；(2)y＝elnx.解：(1)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，其图象如图．返回导航(2)因为函数的定义域为{x|x＞0}且y＝elnx＝x(x＞0)，所以其图像如图所示．返回导航考点二函数图象的识别(1)函数f(x)＝lnx－1x的图象是()返回导航(2)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为()返回导航返回导航解析：(1)B(2)如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，返回导航在Rt△AOM中，由0≤t≤1，知|AO|＝1－t，cosx2＝|OA||OM|＝1－t，∴y＝cosx＝2cos2x2－1＝2(t－1)2－1.故选B.返回导航【反思归纳】知式选图的策略(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的变化趋势；返回导航(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象．提醒：注意联系基本初等函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．返回导航【即时训练】(2018全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()AB返回导航CD返回导航B解析：∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝ex－e－xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．当x＝1时，f(1)＝e－e－11＝e－1e0，排除D选项．又e2，∴1e12，∴e－1e1，排除C选项．故选B.返回导航考点三函数图象的应用(高频考点)考查角度1：研究函数的性质．(2016高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()返回导航返回导航(A)各月的平均最低气温都在0℃以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均最高气温高于20℃的月份有5个返回导航解析：依据给出的雷达图，逐项验证．对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．返回导航【反思归纳】知图选式或选性质的策略(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；(4)从图象的循环往复，观察函数的周期性；(5)从图象与x轴的交点情况，观察函数的零点．利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．返回导航已知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，恒有f(x)＜12，则实数a的取值范围是________．返回导航解析：由题意知，当x∈(－1，1)时，f(x)＝x2－ax＜12，即x2－12＜ax.在同一平面直角坐标系中分别作出二次函数y＝x2－12，指数函数y＝ax的图像(图略)．当x∈(－1，1)时，要使指数函数的图像恒在二次函数图像的上方，则a－1≥12，a≥12，a≠1，所以12≤a≤2且a≠1.故实数a的取值范围是12≤a＜1或1＜a≤2.返回导航答案：[12，1)∪(1，2]返回导航【反思归纳】构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．返回导航考查角度3：求参数的取值范围．已知函数f(x)＝1－|x＋1|，x∈[－2，0]f（x－2），x∈（0，＋∞），若函数g(x)＝13x－f(x)＋b在区间[－2，6]内有3个零点，则实数b的取值范围是________．返回导航解析：若0≤x≤2，则－2≤x－2≤0，∴f(x)＝f(x－2)＝1－|x－2＋1|＝1－|x－1|，0≤x≤2.若2≤x≤4，则0≤x－2≤2，∴f(x)＝f(x－2)＝1－|x－2－1|＝1－|x－3|，2≤x≤4.若4≤x≤6，则2≤x－2≤4，∴f(x)＝f(x－2)＝1－|x－2－3|＝1－|x－5|，4≤x≤6.返回导航∴f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝1，f(5)＝1，设y＝f(x)和y＝13x＋b，则方程f(x)＝13x＋b在区间[－2，6]内有3个不等实根，等价为函数y＝f(x)和y＝13x＋b在区间[－2，6]内有3个不同的零点．作出函数f(x)和y＝13x＋b的图象，如图：返回导航返回导航当直线经过点F(4，0)时，两个图象有2个交点，此时直线y＝13x＋b为y＝13x－43，当直线经过点D(5，1)，E(2，0)时，两个图象有3个交点；当直线经过点O(0，0)和C(3，1)时，两个图象有3个交点，此时直线y＝13x＋b为y＝13x，当直线经过点B(1，1)和A(－2，0)时，两个图象有3个交点，此时直线y＝13x＋b为y＝13x＋23，返回导航∴要使方程f(x)＝13x＋b，在区间[－2，6]内有3个不等实根，两个图象有3个交点，则b∈(－43，23]，故答案为：(－43，23]．返回导航【反思归纳】由函数零点的个数或由方程根的个数确定参数的取值(范围)，常常转化为两函数图象交点个数问题；利用数形结合可求出参数取值(范围)．返回导航考查角度4：求不等式的解集．已知f(x)＝－（x－a）2，x≥0，－x2－2x－3＋a，x＜0，若∀x∈R，f(x)≤f(0)恒成立，则的取值范围为________．返回导航解析：由题意，若∀x∈R，f(x)≤f(0)即函数f(x)max＝f(0)＝－a2，要使得函数的最大值为－a2，当x≥0时，f(x)＝－(x－a)2，此时函数的对称轴x＝a≤0，当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3＋a，开口向下，对称的方程x＝－1，则f(－1)＝－1＋2－3＋a≤－a2，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，综上所述，实数a的取值范围是[－2，0]．答案：[－2，0]返回导航【反思归纳】当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．返回导航利用函数性质识别函数图象(2018浙江卷)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()返回导航返回导航审题指导关键点所获信息函数的解析式函数的奇偶性解题突破：用解析式找出函数图象的特殊点.返回导航解析：由y＝2|x|sin2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin2x，则f(－x)＝2－xsin(－2x)＝－2|x|sin2x.∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B.令f(x)＝2|x|sin2x＝0，解得x＝k