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配套课时作业1．若α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若α⊥β，m⊂α，则m与β平行、相交或m⊂β都有可能，所以充分性不成立；若m⊥β，m⊂α，则α⊥β，必要性成立，故选B.解析答案B答案2．(2019·重庆模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案D答案解析若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，故A错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；对于D，由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D正确．故选D.解析3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案D答案解析若α∥β，由题中条件可知m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故A错误；若l⊥β，则有l∥n，与题设条件l⊥n矛盾，故B错误；由于m⊥α，n⊥β，则m，n都垂直于α，β的交线，而m和n是两条异面直线，可将m平移至与n相交，此时确定一个平面γ，则α，β的交线垂直于平面γ，同理也有l⊥γ，故l平行于α，β的交线，C错误，D正确．解析4．(2019·襄阳模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行答案D答案解析如图所示，连接C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A，C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确．解析5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案C答案解析因为在图1中，AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，所以AD⊥BC.在图2的四面体ABCD中，AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD与BC是异面直线，所以AD与BC的位置关系是异面且垂直．解析6．(2018·济南模拟)已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD答案D答案解析A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直．故选D.解析7．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()解析A中，CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为2.故选A.解析答案A答案8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案D答案解析因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，所以AB⊥平面ADC，即平面ABC⊥平面ADC，故选D.解析9．(2019·甘肃二诊)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝4，若在棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是()A．(0,1]B．(0,2]C．(1，3]D．[1,4)解析连接DP，由D1P⊥PC，DD1⊥PC，且D1P，DD1是平面DD1P上两条相交直线，得PC⊥平面DD1P，PC⊥DP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0AD≤12CD＝2，故选B.解析答案B答案10．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是()A．当AE⊥PB时，△AEF一定是直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF一定是直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定是直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定是直角三角形答案B答案解析由PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，BC⊥AE.又AE⊥PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，故A正确；当EF∥平面ABC时，因为EF⊂平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，所以EF∥BC，故EF⊥平面PAB，AE⊥EF，故C正确；当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE，又BC⊥AE，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，故D正确．故选B.解析11．(2019·绵阳一诊)已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l，m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．答案②④答案解析因为γ∩β＝l，所以l⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m，l⊥m，所以l⊥α；因为γ∩β＝l，所以l⊂β，又l⊥α，所以α⊥β.由于β可以绕l转动，位置不定，所以m⊥β和β⊥γ不一定成立，即②④正确，①③错误．解析12．(2019·西安模拟)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.解析∵△PAB≌△PAD，∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，此时PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．解析答案BM⊥PC(或DM⊥PC)答案13．(2019·泉州模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．答案①②④答案解析对于①，VA－D1PC＝VP－AD1C，点P到平面AD1C的距离即为线BC1与平面AD1C的距离，为定值，故①正确；对于②，因为平面A1C1B∥平面AD1C，所以线A1P∥平面ACD1；对于③，由于当点P在B点时，DB不垂直于BC1，即DP不垂直于BC1，故③错误；对于④，由于B1D⊥平面ACD1，所以平面PDB1⊥平面ACD1.解析14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，∴DE∥A1C1.∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F.答案(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1.∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1.∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，答案∴B1D⊥平面A1C1F.∵直线B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.答案15．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若PC＝2，求三棱锥C－PAB的高．解(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC.因为AB＝2，AD＝CD＝1，所以AC＝BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC.因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.答案(2)由PC＝2，PC⊥CB，得S△PBC＝12×(2)2＝1.由(1)知，AC为三棱锥A－PBC的高．易知Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，则PA＝AB＝PB＝2，于是S△PAB＝12×22×sin60°＝3.设三棱锥C－PAB的高为h，则13S△PAB·h＝13S△PBC·AC，13×3h＝13×1×2，解得h＝63，故三棱锥C－PAB的高等于63.答案16．(2019·河北衡水中学模拟)如图，在底面为梯形的四棱锥S－ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，AD＝DC＝2，SA＝SC＝SD＝2.(1)求证：AC⊥SD；(2)求三棱锥B－SAD的体积．解(1)证明：设O为AC的中点，连接OS，OD.∵SA＝SC，∴OS⊥AC.∵DA＝DC，∴DO⊥AC.又∵OS，OD⊂平面SOD，且OS∩DO＝O，∴AC⊥平面SOD，且SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD.答案(2)连接BD，在△ASC中，∵SA＝SC，∠ASC＝60°，点O为AC的中点．∴△ASC为正三角形，且AC＝2，OS＝3.∵在△ADC中，DA2＋DC2＝4＝AC2，O为AC的中点，∴∠ADC＝90°，且OD＝1.∵在△SOD中，OS2＋OD2＝SD2，∴∠SOD＝90°.∴SO⊥OD.又∵OS⊥AC，且AC∩DO＝O，∴SO⊥平面ABCD.∴VB－SAD＝VS－BAD＝13S△BAD·SO＝13×12AD·CD·SO＝13×12×2×2×3＝33.答案17．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC＝2FB.(1)证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；(2)若AB＝EC＝2，求三棱锥C－AEF的体积．解(1)证明：取AE的中点G，AC的中点M，连接MG，GF，BM，则MG＝12EC＝BF，MG∥EC，又MG∥EC∥BF，∴四边形MBFG是平行四边形，答案∴MB∥FG.∵MB⊥AC，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，∴MB⊥平面ACC1A1，∴FG⊥平面ACC1A1.∵FG⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ACC1A1.(2)由(1)得FG⊥平面AEC，FG＝BM＝3，所以VC－AEF＝VF－ACE＝13×S△ACE×FG＝13×12×2×2×3＝233.答案