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第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线就在此平面内．公理2：经过的三点，有且只有一个平面．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有条过的公共直线．□01两点□02不在同一直线上□03且只有一□04该点2．用集合语言描述点、线、面间的关系(1)点与平面的位置关系：点A在平面α内记作，点A不在平面α内记作.(2)点与线的位置关系点A在直线l上记作，点A不在直线l上，记作.(3)线面的位置关系：直线l在平面α内记作，直线l不在平面α内记作.□05A∈α□06A∉α□07A∈l□08A∉l□09l⊂α□10l⊄α(4)平面α与平面β相交于直线a，记作.(5)直线l与平面α相交于点A，记作.(6)直线a与直线b相交于点A，记作.□11α∩β＝a□12l∩α＝A□13a∩b＝A3．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线..异面直线：不同在一个平面内的两条直线.□14平行□15相交□16任何(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：.□17锐角或直角□180，π21．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是()A．m⊥nB．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案A答案解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.解析2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.解析答案A答案3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC解析A，B，C，D四点构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．解析答案D答案4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选C.解析答案C答案5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④答案解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.解析6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，VP－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°答案解析因为VP－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.解析核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．答案(2)∵EF∥CD1，EFCD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．答案触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.3证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练1.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P.求证：P，A，C三点共线．证明(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EF綊12BD，GH綊23BD.∴四边形FEGH为梯形，∴GE与HF交于一点，设EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，答案∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．答案考向二空间两条直线的位置关系角度1两条直线位置关系的判定例2(1)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4即不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案D答案解析构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C，选D.解析(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.解析答案D答案角度2异面直线的判定例3(2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．解析答案②④答案触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.解析答案C答案3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④答案解析因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.解析考向三异面直线所成的角例4(1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45答案D答案解析连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.故选D.解析(2)正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是________．解析如图所示，连接A1B，可知A1B∥E1D，∴∠A1BC1是异面直线E1D和BC1所成的角．连接A1C1，可求得A1C1＝C1B＝BA1＝3，∴∠A1BC1＝60°.解析答案60°答案触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．2二证：证明作出的角是异面直线所成的角.3三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练4.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B答案解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别为CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝12AC，EG＝12BD.∴∠EFG为EF与AC所成的角．∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.故选B.解析5．在三棱锥S－ACB中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29，则SC与AB所成角的余弦值为________．答案1717答案解析如图所示，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DE∥AB，在平面SBC内作EF∥SC，则异面直线SC与AB所成的角为∠FED，过F作FG⊥AB，连接DG，则△DFG为直角三角形．解析由题知AC＝2，BC＝13，SB＝29可得DE＝172，EF＝2，DF＝52，在△DEF中，由余弦定理可得cos∠FED＝DE2＋EF2－DF22DE·EF＝1717.解析学科素养培优(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33答案C答案解析将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝2