2020版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积和体积课件 理 新人教A版

第2讲空间几何体的表面积和体积基础知识整合1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是，表面积是侧面积与底面面积之和．□01侧面展开图的面积2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.柱、锥、台和球的表面积和体积1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．18答案B答案解析由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB＝6，CD＝3，PC＝3，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求几何体的体积为13×12×6×3×3＝9.故选B.解析2．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2B．4C．6D．8答案C答案解析由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A1B1C1D1－ABCD.由三视图中数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S底面＝12×(1＋2)×2＝3.直四棱柱的高为2，所以体积V＝3×2＝6.故选C.解析3．(2019·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A．2＋5B．4＋5C．2＋25D．5答案C答案解析该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋25.故选C.解析4．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，则球的表面积和体积分别为________，________.解析底面中心与C′连线即为半径，设球的半径为R，则R2＝(6)2＋(3)2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝43πR3＝36π.解析答案36π36π答案5．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于________．答案9π2答案解析由题意知，DC边的中点就是球心O，因为它到D，A，C，B四点的距离相等，∴球的半径R＝12CD，又AB＝BC＝3，∴AC＝6，∴CD＝AC2＋AD2＝3，∴R＝32，∴V球O＝4π3323＝9π2.解析核心考向突破考向一几何体的表面积例1(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π答案B答案解析根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.解析(2)(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A．8＋42＋25B．6＋42＋45C．6＋22＋25D．8＋22＋25答案C答案解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为22，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为5，可得这个几何体的表面积为6＋22＋25，故选C.解析触类旁通空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.即时训练1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π答案C答案解析由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.解析2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋3B．1＋22C．2＋3D．22答案C答案解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝2.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝2，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD＝32，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面体的表面积为2＋3.故选C.解析考向二几何体的体积角度1补形法求体积例2(1)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π答案B答案解析(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.解析(2)(2019·河北质检)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是()A．50B．75C．25.5D．37.5答案D答案解析如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C1－MNB1A1所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.图中几何体ABCC1MN为剩余部分，因为AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，所以剩余部分的体积V＝V三棱柱－V四棱锥＝12×5×5×5－13×3×5×5＝37.5，故选D.解析角度2分割法求体积例3(1)(2019·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A．5000立方尺B．5500立方尺C．6000立方尺D．6500立方尺答案A答案解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．故选A.解析(2)(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案43答案解析多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴其体积为13×(2)2×1＝23，∴多面体的体积为43.解析角度3转化法求体积例4(1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A－A1EF的体积是________．答案83答案解析由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离(等于点C到平面A1ABB1的距离)为32×4＝23，则V三棱锥A－A1EF＝V三棱锥F－A1AE＝13S三角形A1AE×23＝13×12×6×4×23＝83.解析(2)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则V1V2＝________.答案14答案解析如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以S△BDE＝14S△PBC.又因为三棱锥A－BDE与三棱锥A－PBC的高相等，所以V1V2＝14.解析触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.即时训练3.(2019·安徽蚌埠质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为()A．π＋43B．π＋2C．2π＋43D．2π＋2答案A答案解析由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成．故体积为12×π×12×2＋13×12×2×2×2＝π＋43.解析4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．答案16答案解析三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以正方体ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值12，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF－DD1E＝13×12×1＝16.解析5．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．解解法一：如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝12×8×6×3＝72.答案四棱锥D－MNEF的体积为：V2＝13×S梯形MNEF×DN＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为：V＝V1＋V2＝72＋24＝96.答案解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝12V三棱柱＝12×S△ABC×AA′＝12×24×8＝96.答案考向三与球有关的切、接问题例5(1)(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543答案B答案解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4.答案∵S△ABC＝34AB2＝93，∴AB＝6，∵点M为三角形ABC的重心，∴BM＝23BE＝23，∴在Rt△OMB中，有OM＝OB2－BM2＝2.∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，∴(V三棱锥D－ABC)max＝13×93×6＝183.故选B.答案(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．答案36π答案解析如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平