2020版高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第5节 抛物线课件 文 新人教A版

第八篇平面解析几何(必修2、选修1-1)返回导航第5节抛物线最新考纲1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想．3．了解抛物线的简单应用.返回导航【教材导读】1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．返回导航2．抛物线的标准方程中p的几何意义是什么？提示：p的几何意义是焦点到准线的距离．返回导航1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．返回导航2．抛物线的标准方程及其简单几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图形顶点(0,0)返回导航对称轴x轴y轴焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2返回导航【重要结论】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.返回导航1．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为()(A)(－1，0)(B)(1，0)(C)(0，－1)(D)(0，1)返回导航B解析：由准线过已知点可求出p的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－p2且过点(－1，1)，故－p2＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．返回导航2．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()(A)2(B)12(C)14(D)18返回导航D解析：本题考查抛物线的定义．抛物线y＝2x2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是p2，又2p＝12，则p2＝18，即|PF|的最小值为18，故选D.返回导航3．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()(A)2(B)12(C)32(D)52C解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是x1＋x22＝32.返回导航4．设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点A(0，2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．返回导航解析：依题意知F坐标为(p2，0)，所以B的坐标为(p4，1)代入抛物线方程得p22＝1，解得p＝2，所以抛物线准线方程为x＝－22，所以点B到抛物线准线的距离为24＋22＝342.答案：342返回导航5．直线l过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即抛物线方程为x2＝8y.答案：x2＝8y返回导航考点一抛物线的定义及其应用(1)长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，则线段AB的中点M到y轴距离的最小值是________．返回导航(2)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．(3)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．返回导航解析：(1)如图，AB＝2，要使AB的中点M到y轴的距离最小，则|BG|＋|AE|的值最小，即|AF|＋|BF|的值最小．在△ABF中，|AF|＋|BF|≥|AB|，当A，B，F三点共线时取等号，即当线段AB过焦点F时，AB的中点M到y轴的距离最小，最小值为|AE|＋|BG|2－14＝1－14＝34.返回导航(2)将x＝4代入抛物线的方程y2＝4x，得y＝±4.又|a|＞4，所以点A在抛物线的外部．由题意知F(1，0)，设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.画出简图(图略)，易知当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值，此时|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.返回导航(3)由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2.依据抛物线的定义知，当|AB为通径，即|AB|＝2p＝4时，|AB|的值最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：(1)34(2)9＋a2－1(3)2返回导航【反思归纳】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．返回导航【即时训练】(1)(2018玉溪模拟)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()(A)522＋2(B)522＋1(C)522－2(D)522－1返回导航(2)若点A的坐标为(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为()(A)(0，0)(B)12，1(C)(1，2)(D)(2，2)返回导航解析：(1)如图，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x－y＋4＝0的垂线，此时d1＋d2＝|PF|＋d2－1最小．返回导航因为F(0，1)，则|PF|＋d2＝|1－0＋4|1＋1＝522，则d1＋d2的最小值为522－1.(2)过M点作左准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2，2)．故选D.答案：(1)D(2)D返回导航考点二抛物线的标准方程及性质(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()(A)±3(B)±1(C)±34(D)±33返回导航(2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为103，则|AB|＝()(A)133(B)143(C)5(D)163返回导航(3)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝()(A)1(B)2(C)3(D)4返回导航解析：(1)设M(x0，y0)，易知焦点为Fp2，0，由抛物线的定义得|MF|＝x0＋p2＝2p，所以x0＝32p，故y20＝2p×32p＝3p2，解得y0＝±3p，故直线MF的斜率k＝±3p32p－p2＝±3，选A.(2)∵p＝2，∴|AB|＝2＋103＝163.故选D.返回导航(3)∵x2＝2y，∴y＝x22，∴y′＝x，∵抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B1，12∵抛物线x2＝2y的焦点F的坐标为0，12，∴直线l的方程为y＝12，∴|AF|＝|BF|＝1.故选A.答案：(1)A(2)D(3)A返回导航【反思归纳】(1)抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)求抛物线的标准方程的方法①因为抛物线方程有四种上标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．②因为未知数只有p，所以只需利用待定系数法确定p值即可．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．返回导航【即时训练】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()(A)y2＝32x(B)y2＝3x(C)y2＝92x(D)y2＝9x返回导航(2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．答案：(1)B(2)20返回导航考点三直线与抛物线的位置关系考查角度1：直线与抛物线的交点问题．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p，0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．返回导航(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．返回导航解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)．由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.又直线AB的斜率kAB＝y3－y1x3－x1＝2py1＋y3，返回导航直线MN的斜率kMN＝y4－y2x4－x2＝2py2＋y4，∴kABkMN＝y2＋y4y1＋y3＝－2p2y1＋－2p2y3y1＋y3＝－2p2y1y3（y1＋y3）y1＋y3＝2.故直线AB与直线MN斜率之比为定值．返回导航【反思归纳】直线与抛物线位置关系的判断直线y＝kx＋m(m≠0)或x＝my＋n与抛物线y2＝2px(p0)联立方程组，消去y，得到k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0的形式．当k＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k≠0时，设其判别式为Δ，返回导航(1)相交：Δ0⇔直线与抛物线有两个交点；(2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点；(3)相离：Δ0⇔直线与抛物线没有交点．提醒：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点；两条切线和一条平行于对称轴的直线．返回导航考查角度2：直线与抛物线的相交弦问题(2018昆明二模)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l.已知点A在抛物线C上，点B在l上，△ABF是边长为4的等边三角形．(1)求p的值；(2)在x轴上是否存在一点N，当过点N的直线与抛物线C交于Q、R两点时，1|NQ|2＋1|NR|2为定值？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．返回导航解析：(1)由题知，|AF|＝|AB|，则AB⊥l.设准线与x轴交于点D，则AB∥DF.又△ABF是边长为4的等边三角形，∠ABF＝60°，所以∠BFD＝60°，|DF|＝|BF|·cos∠BFD＝4×12＝2，即p＝2.(2)设点N(t，0)，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为x＝my＋t，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)，由x＝my＋ty2＝4x得，y2－4my－4t＝0，则Δ＝16m2＋16t＞0，y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4t.返回导航又|NQ|2＝(x1－t)2＋y21＝(my1＋t－t)2＋y21＝(1＋m2)y21，同理可得|NR|2＝(1＋m2)y22，则有1|NQ|2＋1|NR|2＝1（1＋m2）y21＋1（1＋m2）y22＝y21＋y22（1＋m2）y21y22＝（y1＋y2）2－2y1y2（1＋m2）y21y22＝16m2＋8t16（1＋m2）t2＝2m2＋t（2m2＋2）t2.若1|NQ|2