2020版高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第3节 椭圆课件 文 新人教A版

第八篇平面解析几何(必修2、选修1-1)返回导航第3节椭圆最新考纲1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想.返回导航【教材导读】1．椭圆的定义中，为何有常数2a大于|F1F2|的限制？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时动点的轨迹是不存在的．只有2a|F1F2|时动点的轨迹是椭圆．返回导航2．方程Ax2＋By2＝1(AB≠0)表示椭圆的充要条件是什么？提示：该方程化为标准方程的形式为x21A＋y21B＝1.故方程表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件为1A＞1B＞0，即B＞A＞0；返回导航方程表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件为1B＞1A＞0，即A＞B＞0；方程表示椭圆的充要条件为1A＞0，1B＞0，1A≠1B，，即A＞0，B＞0，A≠B.返回导航3．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e＝ca越接近1，a与c就越接近，从而b＝a2－c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．返回导航1．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．返回导航2．椭圆的标准方程及其简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形返回导航范围|x|≤a；|y|≤b|x|≤b；|y|≤a对称性曲线关于x轴、y轴、原点对称曲线关于x轴、y轴、原点对称顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0，±b)长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b,0)轴长轴长2a，短轴长2b返回导航焦点(±c,0)(0，±c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2返回导航【重要结论】(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.返回导航1．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a0)，则动点P的轨迹是()(A)椭圆(B)线段(C)椭圆或线段或不存在(D)不存在答案：C返回导航2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为0.8，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()(A)9(B)1(C)1或9(D)以上都不对答案：C返回导航3．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()(A)22(B)2－12(C)2－2(D)2－1返回导航D解析：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由题意可设|PF2|＝|F1F2|＝k，则|PF1|＝2k，则e＝2c2a＝k2k＋k＝2－1，故选D.返回导航4．若椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点P(0，3)，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则a＝________．解析：根据题意，b＝3，而a＝2c，且a2＝b2＋c2，得c＝1，a＝2.答案：2返回导航5．直线x－2y＋2＝0过椭圆x2a2＋y2b2＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________．解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2，0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0，1)，即为椭圆的顶点，故b＝1.故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为x25＋y2＝1.答案：x25＋y2＝1返回导航考点一椭圆的定义及标准方程(1)已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()(A)x28＋y26＝1(B)x216＋y26＝1(C)x28＋y24＝1(D)x216＋y24＝1返回导航(2)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．返回导航(1)解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由点(2，3)在椭圆上得4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，ca＝12.又∵c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.即椭圆方程为x28＋y26＝1.故选A.返回导航(2)解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，∴b＝3.答案：3返回导航(3)解析：y225＋x29＝1的焦点为(0，±4)，即为所求椭圆焦点．法一：∴2a＝（3）2＋（－5－4）2＋（3）2＋（－5＋4）2＝220，∴a＝20，∴b2＝20－16＝4，∴椭圆为y220＋x24＝1.返回导航法二：设所求椭圆为y225＋m＋x29＋m＝1过定点(3，－5)，∴525＋m＋39＋m＝1，∴m＝－5，∴椭圆为y220＋x24＝1.答案：y220＋x24＝1返回导航【反思归纳】(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利于定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．返回导航(3)求椭圆方程的方法①定义法，根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法．返回导航【即时训练】设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝()(A)23(B)1(C)43(D)53返回导航(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．答案：(1)C(2)x2＋32y2＝1返回导航考点二椭圆的几何性质(1)过椭圆x24＋y2＝1的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A、C、B、D四点，则四边形ABCD面积的最大值与最小值之差为()(A)1725(B)1825(C)1925(D)45返回导航(2)设F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，若在直线x＝a2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是()(A)(0，22](B)(0，33](C)[22，1)(D)[33，1)返回导航解析：(1)当直线AC的斜率存在且不为0时，设直线AC：y＝k(x＋3)，则BD：y＝－1k(x＋3)，由y＝k（x＋3）x24＋y2＝1消去y得(4k2＋1)x2＋83k2x＋12k2－4＝0，设A(x1，y1)、C(x2，y2)，则x1＋x2＝－83k24k2＋1，x1x2＝12k2－44k2＋1，|AC|＝（1＋k2）（x1－x2）2＝4×k2＋14k2＋1，将k换成－1k得|BD|＝4×k2＋1k2＋4，∴四边形ABCD的面积S＝12|AC|×|BD|＝返回导航8（k2＋1）2（k2＋4）（4k2＋1），设k2＋1＝t(t＞1)，则S＝84－3t1＋3t，令3t＝m(0＜m＜3)，则S＝8（4－m）（1＋m）＝8－m2＋3m＋4，∵0＜m＜3，∴3225≤S＜2；当直线AC的斜率为0或不存在时，S＝2，综上所述3225≤S≤2，面积的最大值与最小值之差为2－3225＝1825.故选B.返回导航(2)设P(a2c，y)，线段F1P的中点Q的坐标为(b22c，y2)，当kQF2存在时，则kF1P＝cya2＋c2，kQF2＝cyb2－2c2，由kF1P·kQF2＝－1，得y2＝（a2＋c2）·（2c2－b2）c2，y2≥0，但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b20，即3c2－a20，即e213，故33e1.返回导航当kQF2不存在时，b2－2c2＝0，y＝0，此时F2为中点，即a2c－c＝2c，得e＝33，综上，得33≤e1，即所求的椭圆离心率的取值范围是33，1返回导航【反思归纳】(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，有－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．(2)求椭圆离心率的方法①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．返回导航【即时训练】(1)(2018昆明二模)已知F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，过原点的直线交E于A，B两点，AF2→·BF2→＝0，且|AF2→||BF2→|＝34，则E的离心率为()(A)12(B)34(C)27(D)57返回导航(2)已知椭圆x24＋y22＝1，A，B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A，B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为________．答案：(1)D(2)(0，0)返回导航考点三直线与椭圆的位置关系(高频考点)考查角度1：由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点M43，13，且点M到椭圆的两焦点的距离之和为22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线的斜率为12且直线与RS交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线．返回导航返回导航解析：(1)因为点M到椭圆的两焦点的距离之和为22，所以2a＝22，解得a＝2，又椭圆C经过点M43，13，所以432a2＋132b2＝1所以b2＝1.所以椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1，返回导航证明：(2)因为线段RS的中垂线的斜率为12，所以直线RS的斜率为－2.所以可设直线RS的方程为y＝－2x＋m.据y＝－2x＋m，x22＋y2＝1，得9x2－8mx＋2m2－2＝0.设点R(x1，y1)，S(x2，y2)，P(x0，y0)，所以x1＋y2＝8m9，y1＋y2＝－2x1＋m－2x2＋m＝返回导航－2(x1＋x2)＋2m＝－2·8m9＋2m＝2m9.所以x0＝x1＋x22＝4m9，y0＝y1＋y22＝m9.因为y0x0＝14，所以y0＝14x0.所以点P在直线y＝14x上．又点O(0，0)，M43，13也在直线y＝14x上，所以P，O，M三点共线．返回导航【反思归纳】位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ0⇔直线与椭圆相离．返回导航考查角度2：由直线与椭圆的位置关系研究与直线有关的问题在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为(x－1)2＋y2＝9，圆C2的方