搜索
专题二命题有据——核心素养、数学文化与高考命题二直观想象与数学运算通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质．数学运算主要是针对各类数学问题，理解运算对象，明确运算方向，选择恰当运算方法，设计运算程序，获取运算结果．【例2】(1)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2(2)(2018·惠州调研)在△ABC中，D是BC边的中点，AB＝3，AC＝13，AD＝7.①求BC边的长；②求△ABC的面积．(1)解析：由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝25.答案：B(2)解：①设BD＝x，则BC＝2x，如图所示．在△ABD中，cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝9＋x2－72×3x，在△ABC中，cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝9＋4x2－132×3×2x，且∠ABD＝∠ABC，即9＋x2－72×3x＝9＋4x2－132×3×2x，解得x＝2，所以BC＝4.②由①可知，cosB＝12，B∈(0，π)，得sinB＝32，所以S△ABC＝12·AB·BC·sinB＝12×3×4×32＝33.[探究提高]1．第(1)题主要考查三视图及最短路径问题，考查直观想象与数学运算核心素养，第(2)题由余弦定理转化为同一个角的三角函数，构造代数方程求解．2．破解此类题的关键：一是会“用图”，即根据图形的特征，寻找转化的桥梁，如本题，观察图形，快速寻找直角三角形中直角的位置；二是运算准确，求解圆锥曲线试题运算要准确．[变式训练](1)(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋bab0B．aba＋b0C．a＋b0abD．ab0a＋b解析：因为a＝log0.20.3，b＝log20.3，所以1a＋1b＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4＜1.又a＞0，b＜0，所以0＜a＋bab＜1，故ab＜a＋b＜0.答案：B(2)从点P(－1，3)向直线kx－y＋k－1＝0作垂线，垂足为N，则N的轨迹方程为________．解析：易知直线kx－y＋k－1＝0恒过定点Q(－1，－1)．如图所示，PN⊥QN，所以点N在以PQ为直径的圆上，因此圆心坐标为(－1，1)，半径r＝2，所以点N的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4.答案：(x＋1)2＋(y－1)2＝4