2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题一 三角函数的图象与性质 第1讲 三角函数的图象与性质课件

专题一三角函数的图象与性质第1讲三角函数的图象与性质1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1解析：由题意知cosα＞0.因为cos2α＝2cos2α－1＝23.所以cosα＝306，sinα＝±66，得|tanα|＝55.又点A(1，a)，B(2，b)在角α的终边上，所以|tanα|＝a－b1－2＝55，所以|a－b|＝55.答案：B2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.32C．1D.12解析：依题意，x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)的两个相邻的最值点，则12T＝3π4－π4，所以T＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2.答案：A3．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③解析：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，①正确．当x∈π2，π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数f(x)在π2，π单调递减，②错误．如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确．因为函数y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值均为1，且可以同时取到，所以函数f(x)的最大值为2，故④正确．综上可知，正确结论的序号是①④.答案：C4．(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．解：(1)f(x)＝12(1－cos2x)＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－π6)＋12.由题意知－π3≤x≤m，所以－5π6≤2x－π6≤2m－π6.要使得f(x)在－π3，m上的最大值为32，即sin(2x－π6)在－π3，m上的最大值为1，所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.1．以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．高考命题以中低档题为主，题型全面，大多呈现在客观题3～9或第14题的位置上．热点1三角函数的概念与同角关系(自主演练)1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.3．诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．1．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanαcosαsinα，则P所在的圆弧是()A.AB︵B.CD︵C.EF︵D.GH︵解析：设点P的坐标为(x，y)，由三角函数的定义得yx＜x＜y，所以－1＜x＜0，0＜y＜1.所以P所在的圆弧是EF︵.答案：C2．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且终边经过点(a，2a)(a≠0)，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45解析：法1：依题意tanθ＝2aa＝2，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.法2：由θ的终边过点(a，2a)，知cosθ＝a5|a|，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝2×15－1＝－35.答案：B3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则cos(α－β)＝________．解析：由题设，得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z)．所以sinβ＝sinα＝13，cosβ＝－cosα.则cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝2×19－1＝－79.答案：－79[思维升华]1．涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．2．应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．热点2三角函数的图象(师生互动)1．“五点法”作图(作y＝Asin(ωx＋φ)的简图)设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．2．图象变换y＝sinx――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)【例1】(1)(2019·珠海质检)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位长度后，得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()A．关于点7π12，0对称B．关于点－π12，0对称C．关于直线x＝7π12对称D．关于直线x＝－π12对称(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，π2≤φ≤π的部分图象如图所示，其中f(0)＝1，|MN|＝52，将f(x)的图象向右平移1个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A．y＝2sinπ3x＋2π3B．y＝2cosπ3xC．y＝2sin2π3x＋π3D．y＝－2cosπ3x解析：(1)由f(x)的最小正周期T＝π，得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．依题意y＝sin2x＋φ＋π3是奇函数，且|φ|＜π2，所以φ＋π3＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π2，则φ＝－π3，所以f(x)＝sin2x－π3.由于f－π12＝sin－π6－π3＝－1，所以函数f(x)的图象关于x＝－π12对称．(2)由f(0)＝1，得2sinφ＝1，又φ∈π2，π，知φ＝56π.如图所示，过点M作MF⊥x轴，垂足为F.则|MF|＝2，|FN|＝|MN|2－|MF|2＝32.所以周期T＝2πω＝4×32＝6，则ω＝π3.故f(x)＝2sinπ3x＋56π.因此g(x)＝2sinπ3（x－1）＋56π＝2cosπ3x.答案：(1)D(2)B[思维升华]1．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．[变式训练](1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f(0)＋f17π12的值为()A．2－3B．2＋3C．1－32D．1＋32(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A．1B.12C.22D.32解析：(1)由三角函数的图象可知，T4＝π6－－π12＝π4，所以T＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．又f－π12＝－2，所以2sin2×－π12＋φ＝－2，所以φ－π6＝2kπ－π2(k∈Z)，即φ＝2kπ－π3(k∈Z)．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f(x)＝2sin2x－π3，f(0)＋f17π12＝2sin－π3＋2sin2×17π12－π3＝2×－32＋2sin5π2＝2－3，故选A.(2)观察图象可知，A＝1，T＝π，则ω＝2.又点－π6，0是“五点法”中的始点，所以2×－π6＋φ＝0，φ＝π3.则f(x)＝sin2x＋π3.函数图象的对称轴为x＝－π6＋π32＝π12.又x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x22＝π12，则x1＋x2＝π6，因此f(x1＋x2)＝sin2×π6＋π3＝32.答案：(1)A(2)D热点3三角函数的性质(多维探究)1．三角函数的单调性y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．2．三角函数奇偶性规律y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ2(k∈Z)时为奇函数．角度三角函数的基本性质【例2】(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝32cos2x＋52，则f(x)的最小正周期为T＝π.当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)max＝4.答案：B(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减解析：显然－2π是f(x)的一个周期，A正确．由f8π3＝cos3π＝－1，知y＝f(x)的图象关于x＝8π3对称，B正确．又f(x＋π)＝cosx＋4π3，则x＝π6代入，得f76π＝cos32π＝0，C正确．由于f(x)在π2，2π3上递减，在2π3，π上递增，故D不正确．答案：D[思维升华]1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)．[变式训练](2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π解析：f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4.当x∈