2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线课件 文

专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23p＋y2p＝1的焦点坐标为(±2p，0)．由题意得p2＝2p，解得p＝0(舍去)或p＝8.答案：D2．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：x24－y25＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92解析：由F是双曲线x24－y25＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，则x20＋y20＝3，x204－y205＝1，解得x20＝569，y20＝259，所以P2143，53，所以S△OPF＝12|OF|·y0＝12×3×53＝52.答案：B3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14解析：由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c.因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c.因为|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴，则∠PF2E＝60°，所以F2E＝c，PE＝3c，即点P(2c，3c)．因为点P在过点A且斜率为36的直线上，所以3c2c＋a＝36，解得ca＝14，所以e＝14.答案：D4．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝x22，D为直线y＝－12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E0，52为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．(1)证明：设Dt，－12，A(x1，y1)，则x21＝2y1.由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故y1＋12x1－t＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点0，12.(2)解：由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋12.由y＝tx＋12，y＝x22，可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12.由于EM→⊥AB→，而EM→＝(t，t2－2)，AB→与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，|EM→|＝2，所求圆的方程为x2＋y－522＝4；当t＝±1时，|EM→|＝2，所求圆的方程为x2＋y－522＝2.1．圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题．2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查．热点1圆锥曲线的定义与标准方程(自主演练)1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．(3)抛物线：|MF|＝d(d为点M到准线的距离)．温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)．(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)．(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)．1．(2019·河南非凡联盟联考)已知双曲线C：x2a2－y29＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝()A．2或14B．2C．14D．2或10解析：由题意知3a＝34，故a＝4，则c＝5.由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点M在C的右支上．由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14.答案：C2．(2019·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为()A.x24＋y23＝1B.x216＋y212＝1C.x22＋y2＝1D.x24＋y22＝1解析：由椭圆定义，△F1AB的周长为4a，所以4a＝8，a＝2.由于e＝ca＝12，得c＝1，则b2＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.答案：A3．(2019·广州一模)已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|＝()A．6B．8C．10D．12解析：曲线C：y2＝6x的焦点F32，0，准线方程x＝－32.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＝3|BF|，所以x1＋32＝3x2＋32，则x1＝3x2＋3.①因为|y1|＝3|y2|，所以x1＝9x2.②由①，②得x1＝92，x2＝12，故|AB|＝x1＋x2＋3＝8.答案：B4．(2018·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1解析：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，所以a2＋9a2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x23－y29＝1.答案：C[思维升华]1．题目求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外焦点在不同坐标轴上，曲线方程有不同的表示形式．2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．热点2圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝ca＝1－b2a2.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝ca＝1＋b2a2.2．双曲线的渐近线(1)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程y＝±bax.(2)双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程y＝±abx.3．抛物线的焦点坐标与准线方程(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点Fp2，0，准线方程x＝－p2.(2)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F0，p2，准线方程y＝－p2.【例1】(1)(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A.2B．2C.322D．22(2)(2019·衡水中学检测)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，且|PF1|＝3|PF2|，若线段PF1的中点恰在y轴上，则椭圆的离心率为()A.33B.36C.22D.12解析：(1)法1：由e＝ca＝2，得c＝2a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.点(4，0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.法2：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，所以点(4，0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.(2)由|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝3a2，|PF2|＝a2.因为线段PF1的中点在y轴上，且O为F1F2的中点，所以PF2∥y轴，得∠PF2F1＝90°，所以a22＋(2c)2＝3a22，则a＝2c.因此离心率e＝ca＝22.答案：(1)D(2)C[思维升华]1．确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2．求双曲线渐近线方程关键在于求ba或ab的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．[变式训练](1)已知椭圆C：y2a2＋x216＝1(a＞4)的离心率是33，则椭圆C的焦距是()A．22B．26C．42D．46解析：由e＝ca＝33，得a＝3c.所以c2＝a2－b2＝3c2－16，所以c2＝8.因此焦距2c＝42.答案：C(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A→＝AB→，F1B→·F2B→＝0，则C的离心率为________．解析：由F1A→＝AB→，得A为F1B的中点．又因为O为F1F2的中点，所以OA∥BF2.又F1B→·F2B→＝0，所以∠F1BF2＝90°.所以OF2＝OB，所以∠OBF2＝∠OF2B.又因为∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B.所以∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，所以△OBF2为等边三角形．如图所示，不妨设B为c2，－32c.因为点B在直线y＝－bax上，所以ba＝3，所以离心率e＝ca＝2.答案：2热点3直线与圆锥曲线的位置关系(多维探究)1．判定直线与圆锥曲线的位置关系主要有代数法与几何法2．弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入．即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.角度直线与圆锥曲线的位置关系【例2】(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解：(1)连接PF1，由于△POF2为等边三角形，所以在△F1PF2中，易知∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c.于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c.故曲线C的离心率e＝ca＝23＋1＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②x2a2＋y2b2＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2.又由①知y2＝162c2，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.当b＝