2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题四 概率与统计 第2讲 概率与统计课件 文

专题四概率与统计第2讲概率与统计1．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12解析：设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.答案：D2.(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：因为S△ABC＝12AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为12π·(AB2)2＝π8AB2，以AC为直径的半圆的面积为12π·(AC2)2＝π8AC2，以BC为直径的半圆的面积为12π·(BC2)2＝π8BC2，所以SⅠ＝12AB·AC，SⅢ＝π8BC2－12AB·AC，SⅡ＝(π8AB2＋π8AC2)－(π8BC2－12AB·AC)＝12AB·AC.所以SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝SⅠS总，p2＝SⅡS总.所以p1＝p2.故选A.答案：A3．(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P(M)＝521.4．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40100×1000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)＝125＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．本讲高考命题的主要内容是古典概型、几何概型的概率计算，同时渗透互斥事件，对立事件的概率，以客观题形式呈出，概率常与统计知识渗透命题，主要以解答题形式，中等难度．1．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.2．几何概型应满足两个条件(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．1．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是()A.23B.58C.13D.38解析：该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB，且AB＝40，职工的有效刷卡地间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB，且CB＝15，如图．所以该职工有效刷卡上班的概率P＝1540＝38.答案：D2．若函数f(x)＝ex，0≤x1，lnx＋e，1≤x≤e在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A.1eB．1－1eC.e1＋eD.11＋e解析：当0≤x1时，恒有f(x)＝exe，不满足题意．当1≤x≤e时，f(x)＝lnx＋e.由lnx＋e≥e，得1≤x≤e.所以所求事件的概率P＝e－1e＝1－1e.答案：B3．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.13B.23C.34D.14解析：设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝V半球V圆柱＝2π3×13π×12×2＝13.故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－13＝23.答案：B4.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinπ4x的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示)，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：依题意，大圆的直径为y＝3sinπ4x的最小正周期T＝8.所以大圆的面积S＝π822＝16π.又一个小圆的面积S0＝π×12＝π.故所求事件的概率P＝2S0S＝2π16π＝18.答案：18[思维升华]1．几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解．2．求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．热点2古典概型(讲练互动)1．古典概型的概率．(1)公式P(A)＝mn＝A中所含的基本事件数基本事件总数.(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等．2．概率的性质及互斥事件的概率．(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，特别地P(A)＋P(A－)＝1.【例1】(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工．因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．②由表格知，符合题意的所有结果为(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11种．所以，事件M发生的概率P(M)＝1115.[思维升华]1．求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数．2．两点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．[变式训练](1)(2019·日照一中月考)《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为()A.13B.23C.14D.34(2)(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率是()A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3解析：(1)设大灯下缀2个小灯的灯球有x个，大灯下缀4个小灯的灯球有y个，根据题意可得x＋y＝360，2x＋4y＝1200，解得x＝120，y＝240，故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为240360＝23.(2)设2名男同学为a，b，3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为310＝0.3.故选D.答案：(1)B(2)D热点3概率与统计的综合问题(多维探究)概率与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计综合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．角度概率与频率分布的综合【例2】手机支付也称为移动支付(MobilePayment)，是指允许移动用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠．某金融机构为了了解移动支付在大众中