2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题六 函数与导数 第1讲 函数图象与性质课件 文

专题六函数与导数第1讲函数图象与性质1．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝2x32x＋2－x在[－6，6]的图象大致为()解析：因为y＝f(x)＝2x32x＋2－x，x∈[－6，6]，所以f(－x)＝2（－x）32－x＋2x＝－2x32－x＋2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除选项C.当x＝4时，y＝2×4324＋2－4＝12816＋116∈(7，8)，排除选项A、D.只有B适合．答案：B2．(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314＞f(2－32)＞f(2－23)B．flog314＞f(2－23)＞f(2－32)C．f2－32＞f2－23＞flog314D．f2－23＞f2－32＞flog314解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以flog314＝f(－log34)＝f(log34)．又log34＞1＞2－23＞2－32＞0，且函数f(x)在(0，＋∞)上递减．所以f(log34)＜f(2－23)＜f(2－32)，则f(log314)＜f2－23＜f2－32.答案：C3．(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，所以f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，所以a＝－1.因为f(x)＝ex＋ae－x，所以f′(x)＝ex－ae－x＝ex－aex.因为f(x)是R上的增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立，即ex≥aex在R上恒成立，所以a≤e2x在R上恒成立．又e2x＞0，所以a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．答案：－1(－∞，0]4．(2019·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤23，则实数a的最大值是________．解析：由题意，得f(t＋2)－f(t)＝a(t＋2)3－(t＋2)－(at3－t)＝a[(t＋2)3－t3]－2＝a(t＋2－t)[(t＋2)2＋(t＋2)t＋t2]－2＝2a(3t2＋6t＋4)－2＝2a[3(t＋1)2＋1]－2.由|f(t＋2)－f(t)|≤23，得|2a[3(t＋1)2＋1]－2|≤23，即－23≤2a[3(t＋1)2＋1]－2≤23，23≤a[3(t＋1)2＋1]≤43，所以23·13（t＋1）2＋1≤a≤43·13（t＋1）2＋1.设g(t)＝43·13（t＋1）2＋1，则当t＝－1时，g(t)max＝43.所以当t＝－1时，a取得最大值43.答案：43从近年高考看，本讲主要以分段函数、基本初等函数为载体考查函数的图象与性质；对于函数图象的考查灵活多变，且年年均有创新，函数的性质着重于单调性、奇偶性、周期性的综合应用．试题多以选择、填空题的形式呈现，以中低档题为主，重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．热点1函数及其表示(自主演练)1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．1．函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是()A．(2，3)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(2，3)∪(3，＋∞)解析：由题意，得2x－4＞0，x－3≠0，解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．答案：D2．(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1解析：当x＜0时，－x＞0，因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以f(－x)＝e－x－1.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.答案：D3．(2019·安徽十校联考)已知函数f(x)＝2x，x＞0，－x2－2x＋1，x≤0，若f(f(a))＝4，则a＝________．解析：令m＝f(a)，则f(m)＝4.当m＞0时，由2m＝4，得m＝2.当m≤0时，由－m2－2m＋1＝4，知方程无解．故f(a)＝2.①当a＞0时，由2a＝2，得a＝1.②当a≤0时，由－a2－2a＋1＝2，解得a＝－1.综上可知，a＝1或a＝－1.答案：±14．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，0)解析：当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示．结合图象可知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需x＋1＜0，2x＜0，2x＜x＋1，或x＋1≥0，2x＜0，所以x＜0.答案：D[思维升华]1．(1)已知函数的解析式，定义域就是使解析式有意义的变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可．(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解．2．对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．热点2函数的图象及其应用(讲练互动)1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．【例1】(1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()(2)设函数f(x)＝－x2＋4x，x≤4，log2x，x＞4，若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．[1，4]C．[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：(1)显然f(－x)＝－f(x)，x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，排除A；当x＝π时，f(π)＝π－1＋π2＞0，排除B、C.(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.答案：(1)D(2)D[思维升华]1．已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断．2．(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．[变式训练](1)函数f(x)＝（ex－e－x）cosxx2的部分图象大致是()(2)若当x∈(1，2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，则实数a的取值范围是________．解析：(1)f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项．又f(π)＝（eπ－e－π）π2cosπ＜0，排除A，只有B适合．(2)如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象．由于当x∈(1，2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则a＞1，loga2≥1，解得1＜a≤2.答案：(1)B(2)(1，2]热点3函数的性质及应用(多维探究)1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性，判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法．温馨提醒：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接．2．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调性．3．函数的周期性(1)若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数．(2)若f(x＋a)＝－f(x)或f（x＋a）＝1f（x），则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数．角度函数的奇偶性、周期性【例2】(1)(2019·广东湛江一模)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1.所以g(－1)＝－g(1)．则f(－2)－1＝－f(2)＋1＝0，故f(－2)＝1.答案：C(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50解析：法1：f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，T＝4是函数f(x)的周期．又f(0)＝0，知f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0.由f(1)＝2，知f(－1)＝－2，则f(3)＝f(－1)＝－2.从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.法2：由题意可设f(x)＝2sinπ2x，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.答案：C[思维升华]1．利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．2．对于奇函数f(x)，若不能确定在x＝0处是否有意义，一定要利用定义求解，此时若利用f(0)＝0求参数，容易漏解．[变式训练](1)(2019·天一大联考)若函数f(x)＝sinx·ln(ax＋1＋4x2)的图象关于y轴对称，则实数a的值为()A．±2B．±4C．2D．4(2)已知定义在R上的偶函数，且f(x＋5)＝f(x－3)．如果当x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，则f(766)＝________．解析：(1)依题设，函数f(x)为偶函数，由于m(x)＝sinx为奇函数，故g(x)＝ln(ax＋1＋4x2)也为奇函数．故g(－x)＋g(x)＝ln(－ax＋1＋4x2)＋ln(ax＋1＋4x2)＝0，则ln(1＋4x2－a2x2)＝0恒成立，因此a＝±2.(2)由f(x＋5)＝f(x－3)，得f(x＋8)＝f(x)．所以函数y＝f(x)是周期为8的函数．又函数f(x)是偶函数，且x∈[0，4)时，f(x)＝log2(x＋2)，所以f(766)＝f(96×8－2)＝f(－2)＝f(2)＝log24＝2.答案：(1)A(2)2角度函数的单调性与最值【例3】(1)设函数f(x)＝(ex＋e－x)sinx＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N.若M＋N＝8，则t＝()A．0B．2C．4D．8(2)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0.设a＝ln1π，