2020版高考数学二轮复习 第3部分 策略1 活用4大数学思想 3 分类与整合思想课件 理

第三部分增分篇策略一活用4大数学思想3．分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.应用1由基本概念、法则引起的分类讨论【典例1】(1)若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.(2)在等比数列{an}中，已有a3＝32，S3＝92，则a1＝________.(1)14(2)32或6[(1)若a＞1，有a2＝4，a－1＝m.解得a＝2，m＝12.此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若0＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．(2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32，S3＝3a1＝92，显然成立．当q≠1时，由a3＝32，S3＝92，∴a1q2＝32，①a11＋q＋q2＝92.②由②①，得1＋q＋q2q2＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－12或q＝1(舍去)．当q＝－12时，a1＝a3q2＝6，综上可知，a1＝32或a1＝6.]【对点训练1】(1)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2x＋1，x＞1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－74B．－54C．－34D．－14(2)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.(3)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且A＝2B，b≠c，若a2＋c2＝b2＋2acsinC，则A＝________.(1)A(2)－32(3)π4[(1)由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x＞0，所以2a－1＝－1无解；②若a＞1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＋1＝8，a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f(6－a)＝－74.(2)当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，所以a＋b＝－32.(3)∵a2＋c2＝b2＋2acsinC，∴a2＋c2－b22ac＝sinC.由余弦定理得cosB＝sinC，∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴C＝π2－B或C＝π2＋B.①当C＝π2－B时，由A＝2B且A＋B＋C＝π，得A＝π2，B＝C＝π4，这与“b≠c”矛盾．∴A≠π2.②当C＝π2＋B时，由A＝2B且A＋B＋C＝π，得B＝π8，C＝5π8，A＝π4.]应用2由图形的不确定性引起的分类讨论【典例2】(1)已知变量x，y满足的不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝()A．－12B.12C．0D．－12或0(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________．(1)D(2)12或32[(1)不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示．由图可知，若要使不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx－y＋1＝0与直线y轴或y＝2x垂直时才满足．结合图形可知斜率k的值为0或－12.(2)不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t6t＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t2t＝32.]【对点训练2】(1)已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A.833B．43C.239D．43或833(2)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的离心率为________．(1)D(2)32或5[(1)当正三棱柱的高为4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当正三棱柱的高为6时，体积V＝43×233×12×6＝833，故选D.(2)由题意可知m2＝2×8＝16，∴m＝±4.当m＝4时，曲线为椭圆，离心率e＝1－14＝32.为m＝－4时，曲线为双曲线，离心率e＝1＋4＝5.]应用3由参数变化引起的分类讨论【典例3】已知函数f(x)＝x2－(2m＋1)x＋lnx(m∈R)．(1)当m＝－12时，若函数g(x)＝f(x)＋(a－1)lnx恰有一个零点，求a的取值范围；(2)当x＞1时，f(x)＜(1－m)x2恒成立，求m的取值范围．切入点：(1)求f′(x)，就a的取值结合f(x)的单调性分析．(2)构造函数h(x)＝f(x)－(1－m)x2，就m的取值及h(x)的最大值情况求m的取值范围．[解](1)函数g(x)的定义域为(0，＋∞)．当m＝－12时，g(x)＝alnx＋x2，所以g′(x)＝ax＋2x＝2x2＋ax.①当a＝0时，g(x)＝x2，在x∈(0，＋∞)上，g(x)＝0无解．∴x＞0时无零点，即a≠0.②当a＞0时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，取x0＝e－1a，则ge－1a＝－1＋e－1a2＜0，因为g(1)＝1，所以g(x0)·g(1)＜0，此时函数g(x)恰有一个零点，即a＞0.③当a＜0时，令g′(x)＝0，解得x＝－a2.当0＜x＜－a2时，g′(x)＜0，所以g(x)在0，－a2上单调递减；当x＞－a2时，g′(x)＞0，所以g(x)在－a2，＋∞上单调递增．要使函数g(x)有一个零点，则g－a2＝aln－a2－a2＝0，即a＝－2e.综上所述，若函数g(x)恰有一个零点，则a＝－2e或a＞0.(2)令h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋lnx，根据题意，当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0恒成立．又h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋1x＝x－12mx－1x.①若0＜m＜12，则x∈12m，＋∞时，h′(x)＞0恒成立，所以h(x)在12m，＋∞上是增函数，且h(x)∈h12m，＋∞，所以不符合题意．②若m≥12，则x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，且h(x)∈(h(1)，＋∞)，所以不符合题意．③若m≤0，则x∈(1，＋∞)时，恒有h′(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上是减函数，于是“h(x)＜0对任意x∈(1，＋∞)都成立”的充要条件是h(1)≤0，即m－(2m＋1)≤0，解得m≥－1，故－1≤m≤0.综上，m的取值范围是[－1,0]．【对点训练3】已知函数f(x)＝ax＋a－1x＋1－2a(a＞0)，若f(x)≥lnx在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．[解]令g(x)＝f(x)－lnx＝ax＋a－1x＋1－2a－lnx，x∈[1，＋∞)，则g(1)＝0，g′(x)＝a－a－1x2－1x＝ax2－x－a－1x2＝ax－1x－1－aax2.①当1－aa＞1，即0＜a＜12时，若1＜x＜1－aa，则g′(x)＜0，g(x)在1，1－aa上是减函数，所以存在x∈[1，＋∞)，使g(x)＜g(1)＝0，即f(x)＜lnx，所以f(x)≥lnx在[1，＋∞)上不恒成立．②当1－aa≤1，即a≥12时，若x≥1，则g′(x)≥0，g(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0，即f(x)≥lnx，所以当x≥1时，f(x)≥lnx恒成立．综上所述，a的取值范围为12，＋∞.Thankyouforwatching!