2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题6 函数、导数、不等式 解密高考6 函数与导数综合问题巧在

第二部分讲练篇解密高考⑥函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”——————[思维导图]————————————[技法指津]——————函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参数函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点，对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导数.(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围.本题考查：利用导数讨论函数零点的个数、根据恒成立的不等式求参数的范围问题，考查考生的逻辑推理、转化与化归、数学运算能力，重点考查考生逻辑推理和数学运算的核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到证明f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点，想到解决此问题应分两步：①确定有零点；②确定唯一性．可先求出f′(x)的零点，然后利用导数证明单调性，进而确定唯一性．(2)看到求a的取值范围，想到根据f(x)≥ax构造函数或分离参数求解．[规范解答·评分标准](1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx．··················2分当x∈0，π2时，g′(x)＞0；当x∈π2，π时，g′(x)＜0，所以g(x)在0，π2上单调递增，在π2，π上单调递减.··········4分又g(0)＝0，gπ2＞0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点.····························6分(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.···········7分由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，π)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)单调递增，在(x0，π)单调递减.····························10分又f(0)＝0，f(π)＝0，所以，当x∈[0，π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范围是(－∞，0].··················12分[构建模板·三处关键]解函数与导数综合问题的关键关键1：会求函数的极值点，先利用方程f(x)＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；关键2：证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；关键3：不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．母题突破：2019年济南模拟已知函数f(x)＝(x－1)lnx＋ax(a∈R)．(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)a＝0时，f(x)＝(x－1)lnx，f′(x)＝lnx＋(x－1)·1x＝lnx－1x＋1，设g(x)＝lnx－1x＋1，则g′(x)＝x＋1x2＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，∴x∈(0,1)时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)由(x－1)lnx＋ax＞0，得－ax＜(x－1)lnx，而x＞0，∴－a＜x－1lnxx＝lnx－lnxx.记h(x)＝lnx－lnxx，则h′(x)＝1x－1x·x－lnxx2＝lnx＋x－1x2，设m(x)＝lnx＋x－1(x＞0)，显然m(x)在(0，＋∞)上单调递增，而m(1)＝0，∴x∈(0,1)时，m(x)＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减，x∈(1，＋∞)时，m(x)＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝0.∴－a＜0，∴a＞0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．Thankyouforwatching!