2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题3 概率与统计 第1讲 概率、随机变量及其分布课件 理

第二部分讲练篇专题三概率与统计第1讲概率、随机变量及其分布自主练考点整合[做小题——激活思维]1．若随机变量X的分布列如表所示，E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1ab0.1A．0.2B．－0.2C．0.8D．－0.8B[由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.]2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9C[记“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，则P(B|A)＝PABPA＝0.8，故选C.]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16B[设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝23，P(B)＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23×1－34＋1－23×34＝512.]4．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝()A.12B.1681C.6581D．1C[∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝59，解得p＝13，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C04(1－p)4＝1－1681＝6581，故选C.]5．罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为________．2425[因为是有放回地取球，所以每次取球(试验)取得红球(成功)的概率均为35，连续取4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B4，35，∴D(X)＝4×35×1－35＝2425.]6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为________．(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545)0.1359[依题意设X～N(0,32)，其中μ＝0，σ＝3，∴P(－3＜X＜3)＝0.6827，P(－6＜X＜6)＝0.9545.∴P(3＜X＜6)＝12[P(－6＜X＜6)－P(－3＜X＜3)]＝12×(0.9545－0.6827)＝0.1359.][扣要点——查缺补漏]1．离散型随机变量的分布列的两个性质(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.如T1.2．变量ξ的数学期望、方差(1)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.如T1.(2)D(ξ)＝[x1－E(ξ)]2·p1＋[x2－E(ξ)]2·p2＋…＋[xn－E(ξ)]2·pn，标准差为Dξ.3．期望、方差的性质(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．(3)X服从两点分布，则E(ξ)＝p，D(ξ)＝p(1－p)．4．常见概率的求法(1)条件概率：在A发生的条件下B发生的概率P(B|A)＝PABPA，如T2.(2)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)，如T3.(3)在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：P(ξ＝k)＝Cknpkqn－k，(k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)，如T4.(4)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.(5)正态分布：若X～N(μ，σ2)，则正态曲线关于直线x＝μ对称，常借助图象的对称性求随机变量落在某一范围内的概率，如T6.研考题举题固法条件概率、相互独立事件及二项分布(5年5考)[高考解读]高考对该点的考查可以单独考查也可以与概率统计综合考查，注重双基，属基础性题目.解答的关键是分清事件间的关系，套用相应概率公式求解.预测2020年命题风格不变.1．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3B[由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的人数X概率分布符合二项分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得C410p4(1－p)6＜C610p6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.]2．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立，在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．[解](1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．提醒：解决条件概率的关键是明确“既定条件”，即在“谁发生的条件下，求谁的概率”．1．(条件概率)(2019·长沙模拟)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A．0.75B．0.6C．0.52D．0.48A[设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)＝PABPA＝0.60.8＝0.75，故选A.]2．(二项分布)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间/天10～2021～3031～4041～5051～60个数1040805020若将频率视作概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()A.1316B.2764C.2532D.2732D[由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为80＋50＋20200＝34，则所求概率为C23·342×14＋C33·343＝2732.]3．(相互独立事件的概率)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．则3人中至少有1人被选中的概率为________．910[3人都未被选中的概率为P＝1－25×1－34×1－13＝110，故3人中至少有1人被选中的概率为1－110＝910.]随机变量的分布列、均值、方差(5年6考)[高考解读]高考对该点的考查常以生产、生活实际为背景，考查考生从题干中提取信息建立数学模型，并应用期望或方差对实际问题作出决策的能力.预测2020年会加强对该点的考查.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？切入点：借助独立重复试验的概率公式建立概率函数f(p)，并用导数求f(p)的最大值点P0.[解](1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．解决分布列、期望、方差问题的3关(1)判断关：即依据题意判断随机变量的取值及判断所求分布列的类型．(2)概率关：即依据事件间的相互关系，结合相应的概率公式求出每个随机变量取值的概率．(3)决策关：即借助分布列，计算随机变量的数学期望，并结合实际问题作出合理决策．1．(以统计图表为背景)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”(时间：分钟)，得到茎叶图如下：(1)请计算“送达时间”的平均数与方差；(2)根据茎叶图，求A，B，C，D的值；送达时间35分钟以内(包括35分钟)超过35分钟频数AB频率CD(3)在(2)的情况下，以频率代替概率，现有3个客户应用此软件订餐，求在35分钟以内(包括35分钟)收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望．[解](1)“送达时间”的平均数为28＋29＋32＋34＋34＋35＋36＋38＋41＋4310＝35(分钟)，方差为－72＋－62＋－32＋－12＋－12＋02＋12＋32＋62＋8210＝20.6.(2)A＝6，B＝4，C＝0.6，D＝0.4.(3)由已知，人数X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064；P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288；P(X＝2)＝C23×0.62×0.41＝0.432；P(X＝3)＝C33×0.63×0.40＝0.216.所以随机变量X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216X服从二项分布B(3,0.6)，E(X)＝3×0.6＝1.8.2．(函数与概率统计的