2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题1 三角函数和解三角形 第2讲 恒等变换与解三角形课件 理

第二部分讲练篇专题一三角函数和解三角形第2讲恒等变换与解三角形自主练考点整合[做小题——激活思维]1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．1B[根据asinA＝bsinB，有313＝5sinB，得sinB＝59.故选B.]2．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3C[由a2＝b2＋bc＋c2，得b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理的推论得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝2π3.]3．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，且α为第二象限角，则tanα＋π4＝()A．7B．17C．－7D．－17B[sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝－[cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ]＝－cos(α－β＋β)＝－cosα＝45，即cosα＝－45.又α为第二象限角，∴tanα＝－34，∴tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝17.]4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，C＝π3，△ABC的面积为334，则c＝()A．13B．33C．7D．13C[∵△ABC的面积为334，∴12absinC＝12×3×b×32＝334，∴b＝1，∴由余弦定理得c＝a2＋b2－2abcosC＝32＋12－2×3×1×12＝7.故选C.]5．已知tanα＝－13，则sin2α－cos2α1＋cos2α＝________.－56[sin2α－cos2α1＋cos2α＝2sinαcosα－cos2α1＋2cos2α－1＝2sinαcosα－cos2α2cos2α＝tanα－12＝－56.]6．函数y＝32sin2x＋cos2x的最小正周期为________．π[∵y＝32sin2x＋cos2x＝32sin2x＋12cos2x＋12＝sin2x＋π6＋12，∴函数的最小正周期T＝2π2＝π.][扣要点——查缺补漏]1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，如T1.2．余弦定理及其变形a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc，如T2.3．如图所示，在△ABC中，AD平分角A，则ABAC＝BDDC.4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanα1∓tanαtanβ，如T3.5．面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝12(a＋b＋c)·r(其中r为△ABC内切圆的半径)，如T4.6．二倍角公式及其变形(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.如T5.7．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2，如T6.研考题举题固法三角恒等变换(5年3考)[高考解读]高考对该点的考查突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”.从“角”入手，用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还是以给值求值为主.1．[一题多解](2016·全国卷Ⅱ)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B.15C．－15D．－725D[法一：(公式法)cosπ4－α＝35，sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝－725，故选D.法二：(整体代入法)由cosπ4－α＝22(sinα＋cosα)＝35，得sinα＋cosα＝352，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1825，即sin2α＝2sinαcosα＝－725.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.－12[∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.]三角函数式化简求值的“三看”原则(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分；(2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一．1．(给值求值)若α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝()A.2525B.255C.2525或255D.55或525A[因为α，β都是锐角，且cosα＝55＜12，所以π3＜α＜π2，又sin(α＋β)＝35＞12，所以π2＜α＋β＜5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45，sinα＝1－cos2α＝255，cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝2525，故选A.]2．(给角求值)(2019·安阳模拟)化简sin235°－12cos10°cos80°等于()A．－2B．－12C．－1D．1C[sin235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－cos70°sin20°＝－1.]3.(给值求角)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255，则α＋2β的值为________．3π4[∵cosα＝210，α∈0，π2，∴sinα＝7210，∴tanα＝7；cosβ＝255，β∈0，π2，∴sinβ＝55，∴tanβ＝12，∴tan2β＝2tanβ1－tan2β＝43，∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1，∵α∈0，π2，β∈0，π2，∴α＋2β∈0，3π2，∴α＋2β＝3π4.]利用正、余弦定理解三角形(5年11考)[高考解读]高考对该点的考查常以平面几何图形为载体，借助三角恒等变换公式及正余弦定理实现边角的相互转化，从而达到求值的目的，预测2020年高考依旧这样考查.1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6C[根据题意及三角形的面积公式知12absinC＝a2＋b2－c24，所以sinC＝a2＋b2－c22ab＝cosC，所以在△ABC中，C＝π4.]2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．切入点：△ABC面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.关键点：余弦定理公式的变形：a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA.[解](1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA.故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题意得12bcsinA＝a23sinA，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.用正、余弦定理求解三角形注意2点,1分析已知的边角关系，选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质三角形内角和，大边对大角等求解三角形.2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA中，有b2＋c2和bc两项，二者的关系b2＋c2＝b＋c2－2bc经常用到.提醒：解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.1．(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝()A.5B.6C.7D．22C[如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝7.故选C.]2．(知识间的内在联系)已知△ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4S＝a2－(b－c)2，bc＝4，则S＝()A．2B．4C.3D．23A[由4S＝a2－(b－c)2可得4×12bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，∴2bcsinA＝2bc－2bccosA，即sinA＋cosA＝1，所以sinA＋π4＝22，又0＜A＜π，所以π4＜A＋π4＜5π4，即A＋π4＝3π4，∴A＝π2.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×4＝2.故选A.]3．(以空间图形为载体)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130m，则塔的高度CD＝________m.1039[设CD＝h，则AD＝h3，BD＝3h.在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，则由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋h23－2·3h·h3·－12，解得h＝1039，故塔的高度为1039m．]4．(恒等变换与解三角形)(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解](1)∵a＝3，b－c＝2，cosB＝－12.∴由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋(b－2)2－2×3×(b－2)×－12，∴b＝7，∴c＝b－2＝5.(2)在△ABC中，∵cosB＝－12，∴sinB＝32，由正弦定理：csinC＝bsinB，∴sinC＝csinBb＝5×327＝5314，∵b＞c，∴B＞C，∴C为锐角，∴cosC＝1114，∴sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝32×1114－－12×5314＝437.与三角形有关的最值(范围)问题(5年1考)[高考解读]与三角形有关的最值范围问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，借助三角函数的有界性及均值不等式建立不等关系是解答此类问题的关键所在.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．切入点：(1)借助正弦定理及三角形内角和定理求解；(2)由△ABC为锐角三角形求得C的范围，借助正弦定理及三角函数的有界性求面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC