第一部分自习篇主题三不等式、推理与证明1.不等式的性质及解法求解不等式问题的2个易错点(1)解形如一元二次不等式ax2+bx+c>0时,易忽视系数a的讨论导致漏解或错解,要注意分a>0,a<0进行讨论.(2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法,一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.利用分离参数法时,常用到函数单调性、基本不等式等.1.已知a>b>0,则下列不等式中恒成立的是()A.a+1b>b+1aB.a+1a>b+1bC.ba>b+1a+1D.a+b2>abA[因为a>b>0,所以1a<1b,根据不等式的性质可得a+1b>b+1a,故A正确;对于选项B,取a=1,b=12,则a+1a=1+11=2,b+1b=12+2=52,故a+1a>b+1b不成立;根据不等式的性质可得ba<b+1a+1,故C错误;取a=2,b=1,可知D错误.]D[不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立的条件:当a=2时,-4<0恒成立;当a≠2时,a<2,4a-22-4a-2×-4<0,解得-2<a<2.故-2<a≤2,选D.]2.若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.(-∞,-2)C.(-2,2)D.(-2,2]A[令f(x)=x2-ax+1,由题意可得f1≤0,f2>0,解得2≤a<52.]3.若关于x的不等式x2-ax+1≤0的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为()A.2,52B.2,52C.2,52D.2,52x-1<x<45[由ax>b的解集为-∞,15,可知a<0,且ba=15.将不等式ax2+bx-45a>0两边同时除以a,得x2+bax-45<0,所以x2+15x-45<0,即5x2+x-4<0,解得-1<x<45,故不等式ax2+bx-45a>0的解集为x-1<x<45.]4.若关于x的不等式ax>b的解集为-∞,15,则关于x的不等式ax2+bx-45a>0的解集为________.[-5,+∞)[由题意得,a≥-x+4x,设f(x)=-x+4x,x∈(0,1],则只要a≥f(x)max,由于函数f(x)在(0,1]上单调递增,所以f(x)max=f(1)=-5,故a≥-5.]5.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则a的取值范围是________.2.简单的线性规划问题解决线性规划问题的2个易错点(1)忽视目标函数中y的系数的正负,而由直线截距的最值确定目标函数的最值.如T1,T4.(2)求解含参数的线性规划问题,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里,寻求最优解,从而确定参数的值.如T2.1.已知x,y满足2x-y≤0,x-3y+5≥0,x≥0,y≥0,则z=8-x·12y的最小值为()A.1B.324C.116D.132D[可行域如图中阴影部分所示,而z=8-x·12y=2-3x-y,欲使z最小,只需使-3x-y最小即可.由图知当x=1,y=2时,-3x-y的值最小,且-3×1-2=-5,此时2-3x-y最小,最小值为132.故选D.]2.实数x,y满足x≥2,x-2y+4≥0,2x-y-4≤0,若z=kx-y的最大值为13,则实数k=()A.132或8B.132或174C.174D.8C[由不等式组可得可行域为由点A(2,0),B(2,3),C(4,4)构成的三角形内部及其边界,如图所示.若k≥2,可得当x=4,y=4时,z有最大值,得4k-4=13,解得k=174;若0<k<2,可得当x=2,y=0时,z有最大值,得2k=13,不合题意;若k≤0,可得当x=2,y=0时,z有最大值,得2k=13,不合题意.故k=174,选C.]3.某中学生在制作纸模过程中需要A,B两种规格的小卡纸,现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择,每张卡纸可同时截得A,B两种规格的小卡纸的块数如下表,现需A,B两种规格的小卡纸分别为4块、7块,所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m,n(m,n为整数),则m+n的最小值为()A规格B规格甲种卡纸21乙种卡纸13A.2B.3C.4D.5B[由题意知2m+n≥4,m+3n≥7,m≥0,n≥0,m,n∈N,又不等式组2m+n≥4,m+3n≥7,m≥0,n≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,可得目标函数z=m+n在点(1,2)处取得最小值3,故选B.]4.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x,y满足约束条件2x+3y-6≥0,x+y-3≤0,y-2≤0,则z=3x-y的最大值是________.9[作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分),由图易知,当直线y=3x-z过点C时,-z最小,即z最大.由x+y-3=0,2x+3y-6=0,解得x=3,y=0,即C点坐标为(3,0),故zmax=3×3-0=9.]5.若实数x,y满足x+2y-4≤0,x≥0,y≥0,则z=y+2x-1的取值范围为________.(-∞,-2]∪23,+∞[点(x,y)表示的是以点O(0,0),A(4,0),B(0,2)为顶点的三角形的内部及其边界,如图所示.目标函数z=y+2x-1是区域内的点(x,y)与点Q(1,-2)连线的斜率.易知kQA=-2-01-4=23,kQO=-21=-2,kQB=-2-21=-4,分析可知,z=y+2x-1的取值范围为(-∞,-2]∪23,+∞.]3.基本不等式应用基本不等式的2个易错点(1)运用基本不等式时,一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指“正数”;“二定”指应用基本不等式求最值时,和或积为定值;“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)若连续两次使用基本不等式求最值,必须使两次等号成立的条件一致,否则最值取不到.如T1.C[由正数a,b的等比中项是2,可得ab=4,又m=b+1a,n=a+1b,所以m+n=a+b+1a+1b≥2ab+2ab=5,当且仅当a=b=2时取“=”,故m+n的最小值为5.]1.已知正数a,b的等比中项是2,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6C[∵P(a,b)为圆x2+y2=4上任意一点,∴a2+b2=4.又a≠0,b≠0,∴1a2+4b2=141a2+4b2(a2+b2)=145+b2a2+4a2b2≥145+2b2a2·4a2b2=94,当且仅当b2=2a2=83时取等号,故a2=43,选C.]2.已知P(a,b)为圆x2+y2=4上任意一点,则当1a2+4b2取最小值时,a2的值为()A.45B.2C.43D.3B[由题意得x+2y=8-x·2y≥8-x+2y22,当且仅当x=2y时,等号成立,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又x+2y>0,所以x+2y≥4,故选B.]3.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3B.4C.92D.1120[y=x+22x+1-32=x+12+1x+12-2≥2-2=0.当且仅当x+12=1x+12,即x=12时等号成立.]4.设x>0,则函数y=x+22x+1-32的最小值为________.92[x+12y+1xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.∵x>0,y>0且x+2y=4,∴4≥22xy(当且仅当x=2,y=1时取等号),∴2xy≤4,∴1xy≥12,∴2+5xy≥2+52=92.]5.(2019·天津高考)设x>0,y>0,x+2y=4,则x+12y+1xy的最小值为________.4.推理与证明1.破解归纳推理题的思维3步骤(1)发现共性:通过观察特例发现某些相似性;(2)归纳推理:把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题;(3)检验结论:对所得的一般性命题进行检验.2.破解类比推理题的3个关键(1)会定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)会推测,即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的猜想;(3)会检验,即检验猜想的正确性.3.逻辑推理常考题型——假言判断此类问题一般涉及的是人与物及某事件,其判断方法为:假设一种情况成立或不成立,然后以此为出发点,联系条件,判断是否与题设条件相符合.1.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙A[由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,又假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾;若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.故选A.]2.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,按照以上规律,若88n=88n具有“穿墙术”,则n=()A.7B.35C.48D.63D[由223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,归纳猜想出一般规律为nnn2-1=n+nn2-1(n∈N*,n≥2).下面证明:n+nn2-1=nn2-1+nn2-1=n3n2-1=nnn2-1,故猜想正确.所以n=82-1=63,故选D.]3.[新题型:多选题]2019年全国两会之后,某地区为改善民生,调研了甲、乙、丙、丁、戊5个民生项目,得到如下信息:①若该地区引进甲项目,就必须引进与之配套的乙项目;②丁、戊两个项目与民生密切相关,这两个项目至少要引进一个;③乙、丙两个项目之间有冲突,两个项目只能引进一个;④丙、丁两个项目关联度较高,要么同时引进,要么都不引进;⑤若引进项目戊,甲、丁两个项目也必须引进.则该地区应引进的项目为()A.甲B.乙C.丙D.丁CD[由②知丁、戊两个项目至少要引进一个,若引进戊项目,则由⑤可知甲、丁两个项目也必须引进;由①④可知必须引进乙、丙两个项目,与③矛盾;因此必须引进丁项目.由④可知必须引进丙项目;由③可知不能引进乙项目;由①可知不能引进甲项目,故该地区只能引进丙、丁两个项目.故选CD.]4.在平面内,三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径r=2SC.在空间中,三棱锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R=________.3VS[若三棱锥表面积为S,体积为V,则其内切球半径R=3VS.理由如下:设三棱锥的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径,所以V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R=13SR,所以内切球的半径R=3VS.]5.如图,一个质点在坐标系内运动,在第一秒钟它由原点运动到点(0,1),而后按图所示在与x轴、y轴平行的方向运动,且每秒移动一个单位长度,那