2020版高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系课件 理 新人教A版选修4-4

知识点考纲下载坐标系理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．选修4-4坐标系与参数方程知识点考纲下载坐标系能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．选修4-4坐标系与参数方程知识点考纲下载参数方程了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.选修4-4坐标系与参数方程第1讲坐标系选修4-4坐标系与参数方程1．坐标系(1)伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0）的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝_________，tanθ＝________.x2＋y2yx（x≠0）3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：_____________；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：______________．ρcosθ＝aρsinθ＝b4．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：___________；(3)当圆心位于Ma，π2，半径为a：__________.ρ＝2acosθρ＝2asinθ求圆ρ＝cosθ－3sinθ的圆心极坐标．解：ρ＝cosθ－3sinθ＝2cosθ＋π3，令ρ′＝ρ，θ′＝θ＋π3，①则有ρ′＝2cosθ′，所以圆心的极坐标为ρ′＝1，θ′＝0，代入①，得极坐标为1，－π3.圆心C的极坐标为2，π4，且圆C经过极点．求圆C的极坐标方程．解：圆心C的直角坐标为(2，2)，则设圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝r2，依题意可知r2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝22(sinθ＋cosθ)．确定极坐标方程ρ2cos2θ－2ρcosθ＝1表示的曲线．解：由方程ρ2cos2θ－2ρcosθ＝1，得ρ2(cos2θ－sin2θ)－2ρcosθ＝1.由互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2，得x2－y2－2x＝1，即(x－1)2－y2＝2.故此方程表示以(1，0)为中心，F1(－1，0)，F2(3，0)为焦点的等轴双曲线．[典例引领](1)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，求点A到直线l的距离．(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程．极坐标与直角坐标的互化【解】(1)由2ρsinθ－π4＝2，得2ρ22sinθ－22cosθ＝2，所以y－x＝1.由点A的极坐标为22，7π4得点A的直角坐标为(2，－2)，所以d＝|2＋2＋1|2＝522.即点A到直线l的距离为522.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.[典例引领](2017·高考全国卷Ⅱ改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的极坐标方程．求曲线的极坐标方程【解】设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ0)．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而曲线C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y－2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6.所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．[典例引领](2019·太原市模拟试题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝2cosφy＝sinφ(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0απ2时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．曲线极坐标方程的应用【解】(1)因为x＝2cosφy＝sinφ(φ为参数)，所以曲线C1的普通方程为x22＋y2＝1.由x＝ρcosθy＝ρsinθ得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin2θ.因为x2＋y2－2y＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝21＋sin2α，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，所以|OA|2＋|OB|2＝21＋sin2α＋4sin2α＝21＋sin2α＋4(1＋sin2α)－4，因为0απ2，所以11＋sin2α2，所以621＋sin2α＋4(1＋sin2α)9，所以|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5)．在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解．(2019·山西省八校第一次联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x＝3＋5cosαy＝4＋5sinα(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：θ＝π6，l2：θ＝π3，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．解：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.所以曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋8sinθ.(2)设Aρ1，π6，Bρ2，π3.把θ＝π6代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ1＝4＋33.所以A4＋33，π6.把θ＝π3代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ2＝3＋43，所以B3＋43，π3.所以S△AOB＝12ρ1ρ2sin∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sinπ3－π6＝12＋2534.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤(1)运用ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．(2)在[0，2π)内由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．