2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第一章集合与常用逻辑用语1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“____”“____”“_____”．或且非(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等_____存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等______∀∃(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记___________，p(x)___________，p(x0)否定___________，¬p(x0)___________，¬p(x)∀x∈M∃x0∈M∃x0∈M∀x∈M判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．()(2)命题p和¬p不可能都是真命题．()(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√命题“∃x0∈R，x20－x0－10”的否定是()A．∀x∈R，x2－x－1≤0B．∀x∈R，x2－x－10C．∃x0∈R，x20－x0－1≤0D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0解析：选A.依题意得，命题“∃x0∈R，x20－x0－10”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，选A.已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋10，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．其中正确的是()A．②③B．②④C．③④D．①②③解析：选A.因为521，所以命题p是假命题．又因为x2＋x＋1＝x＋122＋34≥340，所以命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确，故选A.(教材习题改编)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：因为0≤x≤π4，所以0≤tanx≤1，又因为∀x∈0，π4，tanx≤m，故m≥1，即m的最小值为1.答案：1全称命题与特称命题是高考的常考内容，多和其他数学知识相结合命题，常以选择题、填空题的形式出现．高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度：(1)全称命题、特称命题的否定；(2)判断全称命题、特称命题的真假性．全称命题、特称命题(高频考点)[典例引领]角度一全称命题、特称命题的否定已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则¬p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0【解析】根据“全称命题q：∀x∈M，q(x)的否定是¬q：∃x0∈M，¬q(x0)”可知“¬p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0”．【答案】C角度二判断全称命题、特称命题的真假性(2019·长沙市统一模拟考试)已知函数f(x)＝x12，则()A．∃x0∈R，f(x0)0B．∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，f（x1）－f（x2）x1－x20D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)f(x2)【解析】幂函数f(x)＝x12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立，选B.【答案】B(1)全称命题与特称命题的否定①改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．②否定结论：对原命题的结论进行否定．(2)全、特称命题的真假判断方法①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．(2019·河南商丘模拟)已知f(x)＝sinx－x，命题p：∃x∈0，π2，f(x)0，则()A．p是假命题，¬p：∀x∈0，π2，f(x)≥0B．p是假命题，¬p：∃x∈0，π2，f(x)≥0C．p是真命题，¬p：∀x∈0，π2，f(x)≥0D．p是真命题，¬p：∃x∈0，π2，f(x)≥0解析：选C.易知f′(x)＝cosx－10，所以f(x)在0，π2上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)0，所以命题p：∃x∈0，π2，f(x)0是真命题，¬p：∀x∈0，π2，f(x)≥0，故选C.[典例引领](1)(2017·高考山东卷)已知命题p：∀x0，ln(x＋1)0；命题q：若a＞b，则a2b2.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧¬qC．¬p∧qD．¬p∧¬q含有逻辑联结词的命题的真假判断(2)已知命题p：对于任意的非零向量a，b都有a·b≤|a|·|b|；命题q：对于任意的非零实数x，都有x＋1x≥2.则下列命题：①p∧q，②p∨q，③p∧(¬q)，④(¬p)∨q，⑤(¬p)∧(¬q)，⑥(¬p)∨(¬q)中正确的个数为()A．2B．3C．4D．5【解析】(1)当x＞0时，x＋1＞1，因此ln(x＋1)＞0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a＞b，显然a2＞b2不成立，因此q为假命题．易知B为真命题．(2)对于任意的非零向量a，b，都有a·b≤|a·b|＝|a|·|b||cosa，b|≤|a|·|b|，即命题p为真命题，故¬p为假命题；当x0时，x＋1x≤－2，即命题q为假命题，故¬q为真命题．从而p∨q、p∧(¬q)、(¬p)∨(¬q)为真命题，故选B.【答案】(1)B(2)B“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断命题p，q的真假；(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题的真假．[通关练习]1．(2019·贵州省适应性考试)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋4)≥2，命题q：y＝x12是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∨(¬q)B．p∧qC．(¬p)∨qD．(¬p)∧(¬q)解析：选A.命题p：函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，即命题p是真命题，因此¬p为假命题；命题q：y＝x12在定义域上是增函数，故命题q是假命题，¬q是真命题．因此选项A是真命题，选项B是假命题，选项C是假命题，选项D是假命题，故选A.2．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知命题p：函数f(x)＝|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y＝x3＋sinx的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是()A．p∧qB．p∨qC．(¬p)∧(¬q)D．p∨(¬q)解析：选B.因为命题p为假，命题q为真，所以p∨q为真命题．[典例引领](1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A．[14，＋∞)B．[12，＋∞)C．(－∞，14]D．(－∞，－12](2)(分类讨论思想)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋10成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．由命题的真假确定参数的取值范围【解析】(1)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14，故选A.(2)当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋10成立”⇔a＝0或a0，Δ0，所以0≤a4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤14.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假．所以若p真q假，则0≤a4，且a14，所以14a4；若p假q真，则a0或a≥4，a≤14，即a0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．【答案】(1)A(2)(－∞，0)∪(14，4)若将本例(1)中“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，所以m≥12，即m的取值范围为[12，＋∞)．根据命题的真假求参数的方法(1)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．如本例(1)及互动探究．(2)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围，在求解过程中要注意分类讨论思想的应用，如本例(2)中，由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解．[通关练习]1．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是()A．(0，4]B．[0，4]C．(－∞，0]∪[4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：选D.因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题¬p：∃x0∈R，ax20＋ax0＋10，则a0或a0，Δ＝a2－4a0，解得a0或a4.2．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x20＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[1，4]C．[e，4]D．(－∞，－1)解析：选C.由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.综上可知e≤a≤4.含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∨(¬q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真．(5)¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．易错防范(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)复合命题的否定①“¬p”的否定是“p”；②“p∨q”的否定是“¬p∧¬q”；③“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”．