2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例课件 理 新人教A

第3讲平面向量的数量积及应用举例第五章平面向量1．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量__________叫做a与b的数量积，记作a·b投影________叫做向量a在b方向上的投影，________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积|a||b|·cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ2.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则________就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是____________若θ＝0°，则a与b_______；若θ＝180°，则a与b_____；若θ＝90°，则a与b________∠AOB0°≤θ≤180°同向反向垂直3.向量数量积的运算律(1)a·b＝________；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝________；(3)(a＋b)·c＝__________.4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.b·aa·(λb)a·c＋b·c结论几何表示坐标表示模|a|＝________|a|＝________夹角cosθ＝________cosθ＝______________a⊥b的充要条件________________________a·ax21＋y21a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a·b＝0x1x2＋y1y2＝0判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(6)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝BA→·BC→|BA→|·|BC→|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC＝30°.(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．解析：因为a＋b＝(m－1，3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.答案：7已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×1×1×cosπ3－8＝－6.答案：－6[典例引领](1)(2019·豫南九校联考)已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则|2a－b|a·（a＋b）等于()A．－53B．1C．2D.54平面向量数量积的运算(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1【解析】(1)因为a⊥b，所以2m－2＝0，所以m＝1，则2a－b＝(0，5)，a＋b＝(3，1)，所以a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，所以|2a－b|a·（a＋b）＝55＝1.(2)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，所以PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－32)2－32，当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，为－32，选择B.【答案】(1)B(2)B在本例(2)的条件下，若D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则AD→·AE→等于________．解析：法一：(通性通法)因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝23，在△ABD中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos60°＝232＋22－2×23×2×12＝289，即AD＝273，同理可得AE＝273，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝AD2＋AE2－DE22AD·AE＝289＋289－2322×273×273＝1314，所以AD→·AE→＝|AD→|·|AE→|cos∠DAE＝273×273×1314＝269.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A0，3，D－13，0，E13，0，所以AD→＝－13，－3，AE→＝13，－3，所以AD→·AE→＝－13，－3·13，－3＝269.答案：269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解．[通关练习]1．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于()A．－72B．－12C.32D.52解析：选D.a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－12，所以a·b＝－1×－12＋2×1＝52.2．(2019·云南省第一次统一检测)在▱ABCD中，|AB→|＝8，|AD→|＝6，N为DC的中点，BM→＝2MC→，则AM→·NM→＝()A．48B．36C．24D．12解析：选C.法一：AM→·NM→＝(AB→＋BM→)·(NC→＋CM→)＝AB→＋23AD→·12AB→－13AD→＝12AB→2－29AD→2＝12×82－29×62＝24.法二：(特例图形)，若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，则N(4，6)，M(8，4)．所以AM→＝(8，4)，NM→＝(4，－2)所以AM→·NM→＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.3．(2017·高考北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则AO→·AP→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO→＝(2，0)，令P(cosα，sinα)，则AP→＝(cosα＋2，sinα)，AO→·AP→＝(2，0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6.法二：由题意知，AO→＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO→·AP→＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6.答案：6平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，属中档题．高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下三个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)求向量的模；(3)两向量垂直问题．平面向量的夹角与模(高频考点)[典例引领]角度一求两向量的夹角(2019·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a＋2b与b的夹角是()A.π6B.5π6C.π4D.3π4【解析】因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×12×cosπ3＝3，所以|a＋2b|＝3，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1×12×cosπ3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos〈a＋2b，b〉＝（a＋2b）·b|a＋2b||b|＝343×12＝32，所以a＋2b与b的夹角为π6.【答案】A角度二求向量的模(2019·福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－12，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()A．1B.12C.34D.32【解析】因为向量c与a＋b共线，所以可设c＝t(a＋b)(t∈R)，所以a＋c＝(t＋1)a＋tb，所以(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，因为向量a，b为单位向量，且a·b＝－12，所以(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥34，所以|a＋c|≥32，所以|a＋c|的最小值为32，故选D.【答案】D角度三两向量垂直问题已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．【解析】因为AP→⊥BC→，所以AP→·BC→＝0.又AP→＝λAB→＋AC→，BC→＝AC→－AB→，所以(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，即(λ－1)AC→·AB→－λAB→2＋AC→2＝0，所以(λ－1)|AC→||AB→|cos120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】712(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cosθ＝a·b|a||b|，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22；(2)求向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．[通关练习]1．(2019·河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－2b|＝3|a|，则a与b的夹角为________．解析：由2a·(2a－b)＝b·(b－2a)得4a2＝b2，由|a－2b|＝3|a|得a2－22a·b＋2b2＝9a2，则a·b＝0，即a⊥b，所以a与b的夹角为90°.答案：90°2．(2017·高考山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________解析：因为（3e1－e2）·（e1＋λe2）|3e1－e2|·|e1＋λe2|＝3－λ21＋λ2，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.答案：333．(2019·东北四市高考模拟)已知向量OA→＝(3，1)，OB→＝(－1，3)，OC→＝mOA→－nOB→(m0，n0)，若m＋n＝1，则|OC→|的最小值为________．答案：5解析：由OA→＝(3，1)，OB→＝(－1，3)得OC→＝mOA→－nOB→＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m0，n0)，所以n＝1－m且0m1，所以OC→＝(1＋2m，4m－3)，则|OC→|＝（1＋2m）2＋（4m－3）2＝20m2－20m＋10＝20m－122＋5(0m1)，所以当m＝12时，|OC→|min＝5.[典例引领](2017·高考江苏卷)已知向量a＝