2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算课件 理 新人教A版

第五章平面向量知识点考纲下载平面向量的实际背景及基本概念了解向量的实际背景.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.理解向量的几何表示.向量的线性运算掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.了解向量线性运算的性质及其几何意义.第五章平面向量知识点考纲下载平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.第五章平面向量知识点考纲下载平面向量的数量积及向量的应用理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________．(2)零向量：长度为________的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于__________的向量．(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向________的向量．(6)相反向量：长度相等且方向________的向量．方向模01个单位相反相同相反2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝_____；结合律：(a＋b)＋c＝__________减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝_____，当λ0时，λa与a的方向_____；当λ0时，λa与a的方向_____；当λ＝0时，λa＝___λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得________．b＝λa[说明]三点共线的等价关系A，P，B三点共线⇔AP→＝λAB→(λ≠0)⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP→＝xOA→＋yOB→(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．()(2)AB→＋BC→＋CD→＝AD→.()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是()A．①B．③C．①③D．①②解析：选A.根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．(教材习题改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若AB→＝a，AD→＝b，用a，b表示MD→为()A.12a＋12bB.12a－12bC．－12a－12bD．－12a＋12b解析：选D.MD→＝12BD→＝12(b－a)＝－12a＋12b，故选D.已知平面内四点A，B，C，D，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ的值为________．解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23[典例引领]给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；其中真命题的序号是________．平面向量的有关概念【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．③是正确的，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下两个命题角度：(1)用已知向量表示未知向量；(2)求参数的值．平面向量的线性运算(高频考点)[典例引领]角度一用已知向量表示未知向量(2019·石家庄质量检测(一))在△ABC中，点D在边AB上，且BD→＝12DA→，设CB→＝a，CA→＝b，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b【解析】因为BD→＝12DA→，所以BD→＝13BA→，所以CD→＝CB→＋BD→＝CB→＋13BA→＝CB→＋13(CA→－CB→)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b，故选B.【答案】B角度二求参数的值(2019·太原市模拟试题(一))在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC→＝λAM→＋μAN→，则实数λ＋μ＝________．【答案】43【解析】因为AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋12BC→＝DC→＋12BC→，①；AN→＝AD→＋DN→＝BC→＋12DC→，②由①②得BC→＝43AN→－23AM→，DC→＝43AM→－23AN→，所以AC→＝AB→＋BC→＝DC→＋BC→＝43AM→－23AN→＋43AN→－23AM→＝23AM→＋23AN→，因为AC→＝λAM→＋μAN→，所以λ＝23，μ＝23，λ＋μ＝43.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[通关练习]1．化简AC→－BD→＋CD→－AB→得()A.AB→B.DA→C.BC→D．0解析：选D.因为AC→－BD→＋CD→－AB→＝AC→＋CD→＋DB→＋BA→＝0.2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→＝()A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C.23OA→－13OB→D．－13OA→＋23OB→解析：选A.因为2AC→＋CB→＝0，所以A为BC的中点，所以2OA→＝OC→＋OB→，所以OC→＝2OA→－OB→.3．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．解析：因为D为边BC的中点，所以PB→＋PC→＝2PD→，又PA→＋BP→＋CP→＝0，所以PA→＝PB→＋PC→＝2PD→，所以AP→＝－2PD→，与AP→＝λPD→比较，得λ＝－2.答案：－2[典例引领]设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．平面向量共线定理的应用【解】(1)证明：因为AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，所以BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→，所以AB→，BD→共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)，所以k＝λ，kλ＝1，所以k＝±1.又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时，两向量反向共线．[通关练习]1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是()A．λ＝0B．λ＝－1C．λ＝－2D．λ＝－12解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，因为a，b共线⇔b＝12a⇔b＝e1－12e2⇔λ＝－12.2．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，则1n＋1m的值为________．解析：设OA→＝a，OB→＝b，则OG→＝13(a＋b)，PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma，PG→＝OG→－OP→＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b.由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ→＝λPG→，即nb－ma＝λ13－ma＋13λb，从而－m＝λ13－m，n＝13λ，消去λ，得1n＋1m＝3.答案：3求解向量共线问题的五个策略(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔OP→＝(1－t)·OA→＋tOB→(O为平面内任一点，t∈R)．(5)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.易错防范(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．