2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 2 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件 文 新人

第2讲平面向量基本定理及坐标表示第五章平面向量1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_____________．(2)基底：________的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线不共线λ1e1＋λ2e22．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，a－b＝________________，λa＝________________，|a|＝___________．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝________________，|AB→|＝_________________________．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(x2－x1，y2－y1)（x2－x1）2＋（y2－y1）23．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔________________．x1y2－x2y1＝0[提醒]当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2＝y1y2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，向量AB→，BC→的夹角为∠ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)如果向量a＝(1，2)，b＝(4，3)，那么a－2b＝()A．(9，8)B．(－7，－4)C．(7，4)D．(－9，－8)解析：选B.a－2b＝(1，2)－(8，6)＝(－7，－4)，故选B.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则AC→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.(教材习题改编)已知A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，t)，若AB→与CD→共线，则t＝________．解析：AB→＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)，CD→＝(－7，t)－(1，4)＝(－8，t－4)．因为AB→与CD→共线，所以4(t－4)－4×(－8)＝0.即4t＋16＝0，所以t＝－4.答案：－4在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________(用a，b表示)．解析：因为AN→＝3NC→，所以AN→＝34AC→＝34(a＋b)，又因为AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.答案：－14a＋14b(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→＝()A．13a＋512bB．13a－1312bC．－13a－512bD．－13a＋1312b平面向量基本定理及其应用(典例迁移)(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则实数t的值为________．【解析】(1)DE→＝DC→＋CE→＝13BC→＋34CA→＝13(AC→－AB→)－34AC→＝－13AB→－512AC→＝－13a－512b.(2)因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，所以2AP→＝PB→.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设AM→＝λAQ→.所以CM→＝AM→－AC→＝λAQ→－AC→＝λ12AB→＋12AC→－AC→＝λ2AB→＋λ－22AC→，又CM→＝tCP→＝t(AP→－AC→)＝t13AB→－AC→＝t3AB→－tAC→.故λ2＝t3，λ－22＝－t，解得t＝34，λ＝12.故t的值是34.【答案】(1)C(2)34[迁移探究1](变问法)在本例(2)中，试用向量AB→，AC→表示CP→.解：因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，所以2CP→－2CA→＝CB→－CP→，即2AP→＝PB→，所以AP→＝13AB→，CP→＝AP→－AC→＝13AB→－AC→.[迁移探究2](变问法)在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？解：由本例(2)的解析CM→＝λ2AB→＋λ－22AC→及λ＝12，CB→＝2CQ→知，CM→＝12λ(CB→－CA→)＋2－λ2CA→＝λ2CB→＋(1－λ)CA→＝λCQ→＋(1－λ)CA→＝CQ→＋CA→2.因此点M是AQ的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[注意]在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝13AB，BQ＝13BC，若AB→＝a，AC→＝b，则PQ→＝()A．13a＋13bB．－13a＋13bC．13a－13bD．－13a－13b解析：选A.由题意知PQ→＝PB→＋BQ→＝23AB→＋13BC→＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b，故选A.2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且OA→与OB→不共线．(1)在△OAB中，点P在AB上，且AP→＝2PB→，若AP→＝rOB→＋sOA→，求r＋s的值；(2)已知点P满足OP→＝mOA→＋OB→(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．解：(1)因为AP→＝2PB→，所以AP→＝23AB→，所以AP→＝23(OB→－OA→)＝23OB→－23OA→，又因为AP→＝rOB→＋sOA→，所以r＝23，s＝－23，所以r＋s＝0.(2)因为四边形OABP为平行四边形，所以OB→＝OP→＋OA→，又因为OP→＝mOA→＋OB→，所以OB→＝OB→＋(m＋1)OA→，依题意OA→，OB→是非零向量且不共线，所以m＋1＝0，解得m＝－1.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．平面向量的坐标运算(师生共研)【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(3)设O为坐标原点，因为CM→＝OM→－OC→＝3c，所以OM→＝3c＋OC→＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M(0，20)．又因为CN→＝ON→－OC→＝－2b，所以ON→＝－2b＋OC→＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)．所以MN→＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．1．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝0，52，则c可用向量a，b表示为()A．c＝12a＋bB．c＝－12a－bC．c＝32a＋12bD．c＝32a－12b解析：选A.设c＝xa＋yb，则0，52＝(2x－y，x＋2y)，所以2x－y＝0，x＋2y＝52，解得x＝12，y＝1，则c＝12a＋b.2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A．2，72B．2，－12C．(3，2)D．(1，3)解析：选A.设D(x，y)，AD→＝(x，y－2)，BC→＝(4，3)，又BC→＝2AD→，所以4＝2x，3＝2（y－2），所以x＝2，y＝72，故选A.角度一利用向量共线求向量或点的坐标已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．平面向量共线的坐标表示(多维探究)【解析】因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以DC→＝2AB→.设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，AB→＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2，4)．【答案】(2，4)角度二利用两向量共线求参数已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－23B．43C．12D．13【解析】AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以AB→，AC→共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.【答案】A(1)向量共线的两种表示形式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．1．(2019·合肥市第一次质检测)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A.－65，85B．(－6，8)C.65，－85D．(6，－8)解析：选D.法一：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t0)，又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2，或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.法二：与a方向相反的单位向量为35，－45，令b＝t35，－45(t0)，由|b|＝10，得t＝10，所以b＝(6，－8)，故选D.2．已知向量m＝sinA，12与向量n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为()A．π6B．π4C．π3