2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 1 第1讲 平面向量的概念及线性运算课件 文 新人教

知识点考纲下载平面向量的实际背景及基本概念了解向量的实际背景.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.向量的线性运算掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.了解向量线性运算的性质及其几何意义.第五章平面向量知识点考纲下载平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.第五章平面向量知识点考纲下载平面向量的数量积及向量的应用理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算第五章平面向量1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的______．(2)零向量：长度为______的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于____________的向量．(4)平行向量：方向相同或______的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．方向模01个单位相反(5)相等向量：长度相等且方向______的向量．(6)相反向量：长度相等且方向______的向量．[注意](1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.相同相反2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝______；结合律：(a＋b)＋c＝____________b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝______，当λ0时，λa与a的方向______；当λ0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝____λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝__________；λ(a＋b)＝__________相同相反0|λ||a|(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得______．常用知识拓展1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.b＝λa判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)AB→＋BC→＋CD→＝AD→.()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()A.AP→＝13AB→B.AQ→＝23AB→C.BP→＝－23AB→D.AQ→＝BP→解析：选D.由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．(教材习题改编)如图，▱ABCD的对角线交于点M，若AB→＝a，AD→＝b，用a，b表示MD→为()A．12a＋12bB．12a－12bC．－12a－12bD．－12a＋12b解析：选D.MD→＝12BD→＝12(b－a)＝－12a＋12b，故选D.(教材习题改编)化简：(1)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→＝________．(2)NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝________．解析：(1)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＝AO→＋OB→＝AB→.(2)NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝0.答案：(1)AB→(2)0已知平面内四点A，B，C，D，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ的值为________．解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中真命题的序号是________．平面向量的有关概念(师生共研)【解析】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．③是正确的，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．其中叙述错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A．34AB→－14AC→B．14AB→－34AC→C．34AB→＋14AC→D．14AB→＋34AC→平面向量的线性运算(师生共研)(2)(一题多解)如图，在直角梯形ABCD中，DC→＝14AB→，BE→＝2EC→，且AE→＝rAB→＋sAD→，则2r＋3s＝()A．1B．2C．3D．4【解析】(1)法一：如图所示，EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.法二：EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－12×12(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.(2)法一：根据图形，由题意可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋14AB→)＝12AB→＋23AD→.因为AE→＝rAB→＋sAD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.法二：因为BE→＝2EC→，所以AE→－AB→＝2(AC→－AE→)，整理，得AE→＝13AB→＋23AC→＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝12AB→＋23AD→，以下同法一．法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由DC→＝14AB→得DC∥AB，且AB＝4DC，又BE→＝2EC→，所以E为PB的中点，且AP→＝43AD→.于是AE→＝12(AB→＋AP→)＝12(AB→＋43AD→)＝12AB→＋23AD→.以下同法一．【答案】(1)A(2)C向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→＝()A．2OA→－OB→B．－OA→＋2OB→C．23OA→－13OB→D．－13OA→＋23OB→解析：选A.因为2AC→＋CB→＝0，所以A为BC的中点，所以2OA→＝OC→＋OB→，所以OC→＝2OA→－OB→.2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．解析：因为D为边BC的中点，所以PB→＋PC→＝2PD→，又PA→＋BP→＋CP→＝0，所以PA→＝PB→＋PC→＝2PD→，所以AP→＝－2PD→，所以λ＝－2.答案：－2设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．平面向量共线定理的应用(典例迁移)【解】(1)证明：因为AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，所以BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→，所以AB→，BD→共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.[迁移探究](变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ0)，所以k＝λ，kλ＝1，所以k＝±1.又λ0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时，两向量反向共线．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是()A．λ＝0B．λ＝－1C．λ＝－2D．λ＝－12解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，由a，b共线⇔b＝12a⇔b＝e1－12e2⇔λ＝－12.2.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为()A．29B．27C．25D．23解析：选A.因为AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，所以AB→＝52AE→，AD→＝2AF→.由向量加法的平行四边形法则可知，AC→＝AB→＋AD→，所以AK→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)＝λ52AE→＋2AF→＝52λAE→＋2λAF→，由E，F，K三点共线，可得52λ＋2λ＝1，所以λ＝29，故选A.