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第7讲正弦定理与余弦定理第四章三角函数、解三角形1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝_________________；b2＝_________________；c2＝_________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC变形形式a＝_________________，b＝_________________，c＝_________________；sinA＝______，sinB＝_____，sinC＝______；a∶b∶c＝_____________________；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝______________；cosB＝____________；cosC＝_____________2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝______________＝12absinC；(3)S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝12(a＋b＋c)．12acsinB判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．()(3)在△ABC中，sinAsinB的充分不必要条件是AB.()(4)在△ABC中，a2＋b2c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．()(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(教材习题改编)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B.cosB＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形()A．无解B．有两解C．有一解D．解的个数不确定解析：选B.因为asinA＝bsinB，所以sinB＝ba·sinA＝2418×sin45°＝223.又因为ab，所以B有两解．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为________．解析：由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sinA＝12(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×2×12＝12.答案：12(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________．解析：依题意得2b×a2＋c2－b22ac＝a×a2＋b2－c22ab＋c×b2＋c2－a22bc，即a2＋c2－b2＝ac，所以2accosB＝ac0，cosB＝12.又0Bπ，所以B＝π3.答案：π3[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝()A.31010B.1010C．－1010D．－31010利用正弦、余弦定理解三角形(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得13a＝csinπ4＝22c，则a＝322c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac＝92c2＋c2－3c2＝52c2，则b＝102c.由余弦定理，可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝52c2＋c2－92c22×102c×c＝－1010，故选C.(2)因为sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinA·sinC－sinA·cosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝3π4，由正弦定理得sinC＝c·sinAa＝2×222＝12，又0Cπ4，所以C＝π6.故选B.【答案】(1)C(2)B(1)正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[通关练习]1．(2019·张掖市第一次诊断考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝12asinC，则cosB为()A.74B.34C.73D.13解析：选B.由bsinB－asinA＝12asinC，且c＝2a，得b＝2a，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.2．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，则角B的大小为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C.法一：因为(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝2sinAcosB＋sin(B＋C)＝2sinAcosB＋sinA＝0，因为sinA≠0，所以cosB＝－12，又B为△ABC的内角，所以B＝2π3.故选C.法二：因为(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，所以(2a＋c)·a2＋c2－b22ac＋b·a2＋b2－c22ab＝0，所以b2＝a2＋c2＋ac，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝－12，所以B＝2π3.3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝3，∠B＝2∠A，cosA＝63，则b＝________．解析：在△ABC中，由cosA＝63，∠B＝2∠A，可得sinA＝33，sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝2×33×63＝223.再由正弦定理asinA＝bsinB，可得333＝b223，求得b＝26.答案：26[典例引领](1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)(2019·山西怀仁月考)若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【解析】(1)由正弦定理得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以∠A＝π2.即△ABC为直角三角形．(2)法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因为a2＋b2－c2＝ab.所以2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°C180°，所以C＝60°，所以△ABC为等边三角形．【答案】(1)A(2)D若将本例(1)条件改为“2sinAcosB＝sinC”，试判断△ABC的形状．解：法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，故△ABC为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．[通关练习]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：选A.已知cb＜cosA，由正弦定理，得sinCsinB＜cosA，即sinC＜sinBcosA，所以sin(A＋B)＜sinBcosA，即sinB·cosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有cosB＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理应用的考查有以下三个命题角度：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形；(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．与三角形面积有关的问题(高频考点)[典例引领]角度一求三角形的面积(2017·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【解】(1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos2π3，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.角度二已知三角形的面积解三角形(2019·江西南昌十校模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若sinAsinB＝5c2b，sinB＝74，S△ABC＝574，则b的值为________．【解析】由sinAsinB＝5c2b⇒ab＝5c2b⇒a＝52c，①由S△ABC＝12acsinB＝5