2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数课

知识点考纲下载任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.同角三角函数的基本关系式与诱导公式理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.第四章三角函数、解三角形知识点考纲下载两角和与差的正弦、余弦及正切公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).第四章三角函数、解三角形知识点考纲下载三角函数的图象与性质能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性.第四章三角函数、解三角形知识点考纲下载函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.解三角形应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数第四章三角函数、解三角形1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着_________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．端点(2)角的分类按旋转方向正角按_________方向旋转而成的角负角按_________方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上逆时针顺时针(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________________．2．弧度制(1)定义：长度等于_________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}半径长(2)公式角α的弧度数公式|α|＝____角度与弧度的换算1°＝_________rad，1rad＝180π°≈57°18′弧长公式l＝_________扇形面积公式S＝_________＝12|α|·r2lrπ180|α|·r12l·r3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么____叫做α的正弦，记作sinα____叫做α的余弦，记作cosα____叫做α的正切，记作tanαyxyx三角函数正弦余弦正切各象限符号Ⅰ____________Ⅱ____________Ⅲ____________Ⅳ____________口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段____为正弦线，有向线段____为余弦线，有向线段____为正切线正正正正负负负负正负正负MPOMAT判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．()(5)若α∈0，π2，则tanα＞sinα.()(6)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√(教材习题改编)若θ满足sinθ＜0，cosθ＞0，则θ的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.由sinθ＜0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合，cosθ＞0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x轴的非负半轴重合，故θ的终边在第四象限．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________．解析：因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.答案：120°或－240°已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．解析：设此扇形的半径为r，由题意得π3r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π[典例引领](1)若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角(2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．象限角及终边相同的角【解析】(1)因为α是第二象限角，所以π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．(2)如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.【答案】(1)C(2)－53π，－23π，π3，43π在本例(1)的条件下，判断2α为第几象限角？解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(1)表示区间角集合的三个步骤(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限(位置)的方法①将θ的范围用不等式(含有k)表示．②两边同除以n或乘以n.③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限(位置)．[通关练习]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°，得－765°≤k×360°－45°，解得－765360≤k－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°2．若sinα·tanα0，且cosαtanα0，则α是第________象限角．解析：由sinα·tanα0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角；由cosαtanα0，可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：三[典例引领]已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？扇形的弧长、面积公式【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10cm，α＝2rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒]运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．[通关练习]1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是()A．4B．2C．8D．1解析：选A.设扇形的弧长为l，则12l·2＝8，即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α2r32πr2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·23r2πr＝518.答案：518三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，主要有以下四个命题角度：(1)利用三角函数定义求值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解三角不等式；(4)三角函数定义中的创新．三角函数的定义(高频考点)[典例引领]角度一利用三角函数定义求值已知α是第二象限的角，其终边的一点为P(x，5)，且cosα＝24x，则tanα＝()A.155B.153C．－155D．－153【解析】因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，5)，且cosα＝24x，所以x＜0，cosα＝xx2＋5＝24x，解得x＝－3，所以tanα＝5－3＝－153.【答案】D角度二判断三角函数值的符号若tanα0，则()A．sinα0B．cosα0C．sin2α0D．cos2α0【解析】因为tanα＞0，所以α∈kπ，kπ＋π2(k∈Z)是第一、三象限角．所以sinα，cosα都可正、可负，排除A，B.而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，结合正弦函数图象可知，C正确．取α＝π4，则tanα＝10，而cos2α＝0，故D不正确．【答案】C角度三利用三角函数线解三角不等式函数y＝sinx－32的定义域为________．【解析】由题意，得sinx≥32，作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为x2kπ＋π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.【答案】2kπ＋π3，2kπ＋2π3，k∈Z角度四三角函数定义中的创新(2019·南昌质检)如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】因为P0(2，－2)，所以∠P0Ox＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－π4.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sint－π4，因此d＝2sint－π4.令t＝0，则d＝2sin－π4＝2.当t＝π4时，d＝0，故选C.【答案】C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(如例3­1)．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒]若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．[通关练习]1．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为2，若α＝π4，则点P的坐标为()A．(1，2)B．(2，1)C．(2，2)D．(1，1)解析：选