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第8讲解三角形应用举例第四章三角函数、解三角形1．实际问题中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角术语名称术语意义图形表示方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的范围是0°≤α360°术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度2．解三角形应用题的一般步骤判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：选B.如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.可以计算出A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD．2522m解析：选A.由正弦定理得ABsin∠BCA＝BCsin∠CAB，所以AB＝BC·sin∠BCAsin∠CAB＝50×2212＝502m.(教材习题改编)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距82nmile，则此船的航速是________________________________nmile/h.解析：设航速为vnmile/h，在△ABS中AB＝12v，BS＝82，∠BSA＝45°，由正弦定理得82sin30°＝12vsin45°，则v＝32.答案：32如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________．解析：因为∠D＝30°，∠ACB＝60°，则∠CAD＝30°，所以CA＝CD＝a，所以AB＝asin60°＝32a.答案：32a如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)测量距离(典例迁移)【解】在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos150°，得9＝3＋CD2＋23×32CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32，BC＝BD＋CD＝33－12，2个小时小王和小李可徒步攀登1250×2＝2500米，即2.5千米，而33－1236－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰．[迁移探究](变条件)若本例条件“BD＝1km，AC＝3km”变为“BD＝200m，CD＝300m”，其他条件不变，则这条索道AC长为________．解析：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以200sin30°＝ADsin120°.所以AD＝200×sin120°sin30°＝2003(m)．在△ADC中，DC＝300m，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos150°＝390000，所以AC＝10039.故这条索道AC长为10039m.答案：10039m测量距离问题的解法选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．[提醒]解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．(2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52m．若该小区内某居民在距离楼底27m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.解析：设两住宅楼楼间距实际为xm．如图，根据题意可得，tan∠DCA＝27x，tan∠DCB＝45－27x＝18x，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝27x＋18x1－27x·18x＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区的住宅楼楼间距实际为54m.答案：54m如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.测量高度(师生共研)【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．【答案】1006求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．(2019·湖北七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130m，则塔的高度CD＝________m.解析：由题意可知，设CD＝h，则AD＝h3，BD＝3h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，所以由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋h23－2·3h·h3·－12，解得h＝1039，故塔的高度为1039m.答案：1039一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．测量角度(师生共研)【解】(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝26.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝4×3226＝22，所以∠CAB＝45°.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒]方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．1.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3，由正弦定理得ACBC＝sin120°sin∠BAC＝3，所以sin∠BAC＝12.又因为0°∠BAC60°，所以∠BAC＝30°.所以甲船应沿北偏东30°方向前进．答案：30°2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.