2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4 第4讲 简单的三角恒等变换课件 文 新

第4讲简单的三角恒等变换第四章三角函数、解三角形化简：(1)（sin2α＋cos2α－1）（sin2α－cos2α＋1）sin4α＝________．(2)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2＝________．三角函数式的化简(师生共研)【解析】(1)（sin2α＋cos2α－1）（sin2α－cos2α＋1）sin4α＝sin22α－（cos2α－1）22sin2α·cos2α＝sin22α－cos22α＋2cos2α－12sin2α·cos2α＝－2cos22α＋2cos2α2sin2α·cos2α＝1－cos2αsin2α＝2sin2α2sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.(2)原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.【答案】(1)tanα(2)2sinα(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．1．(2019·长沙模拟)化简：2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝________．解析：2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα12（1＋cosα）＝4sinα（1＋cosα）1＋cosα＝4sinα.答案：4sinα2．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.解：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝12（1－sin22x）2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.角度一给角求值(一题多解)cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝________．【解析】法一：原式＝1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan30°＝33.三角函数式的求值(多维探究)法二：原式＝2（sin45°cos15°－cos45°sin15°）2（sin45°cos15°＋cos45°sin15°）＝sin30°sin60°＝1232＝33.法三：因为cos15°－sin15°cos15°＋sin15°2＝1－sin30°1＋sin30°＝13.又cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＞0，所以cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝33.【答案】33角度二给值求值已知α∈0，π2，且2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，求sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1的值．【解】因为α∈0，π2，且2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，所以2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝213，sinα＝313，所以sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22（sinα＋cosα）（sinα＋cosα）2＋（cos2α－sin2α）＝268.角度三给值求角设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A．3π4B．5π4C．7π4D．5π4或7π4【解析】因为α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，所以cosα＝－255，sinβ＝1010，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝220.又α＋β∈(π，2π)，所以α＋β＝7π4.【答案】C三角函数求值的3种情况1．计算：4tanπ123tan2π12－3＝()A．233B．－233C．239D．－239解析：选D.原式＝－23·2tanπ121－tan2π12＝－23tanπ6＝－23×33＝－239.2．已知tanα＋π4＝17，且α为第二象限角，若β＝π8，则sin(α－2β)cos2β－cos(α－2β)sin2β＝()A．－35B．35C．－45D．45解析：选D.tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝17，所以tanα＝－34，又α为第二象限角，所以cosα＝－45，所以sin(α－2β)·cos2β－cos(α－2β)sin2β＝sin(α－4β)＝sinα－π2＝－cosα＝45，故选D.3．(2019·南充模拟)已知α∈0，π2，β∈0，π2，且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则β＝________．解析：因为α∈0，π2，β∈0，π2，且cosα＝17，cosα＋β＝－1114，所以sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝5314，则sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32，因为β∈0，π2，所以β＝π3.答案：π3