2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 7 第6讲 函数y＝Asin（ωx＋φ）的

第6讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用第四章三角函数、解三角形1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝____f＝1T＝ω2π_______φ2πωωx＋φ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin12x.()(2)将y＝sin2x的图象向右平移π3个单位长度，得到y＝sin2x－π3的图象．()(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋π2(k∈Z)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(教材习题改编)y＝2sin2x－π4的振幅、频率和初相分别为()A．2，1π，－π4B．2，12π，－π4C．2，1π，－π8D．2，12π，－π8答案：A函数y＝cosx|tanx|0≤x≤π且x≠π2的图象为()解析：选C.因为|tanx|≥0，所以当x∈0，π2时，cosx≥0，y≥0，当x∈π2，π时，cosx≤0，y≤0.由图可知，故选C.若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝________．解析：函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin2x＋π12＝2sin2x＋π6.答案：2sin2x＋π6已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T4＝2π3－π3＝π3，即T＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32(2019·济南高三模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．五点法作图及图象变换(典例迁移)【解】(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝π6时，f(x)取得最大值2.所以A＝2，同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z，因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6，列表如下：2x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线得图象：[迁移探究1](变结论)在本例条件下，函数y＝2cos2x的图象向右平移________个单位得到y＝f(x)的图象．解析：将函数y＝2cos2x的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y＝2sin2x的图象，再将y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋π6)的图象，综上可得，函数y＝2sin2x＋π6的图象可以由函数y＝2cos2x的图象向右平移π6个单位长度得到．答案：π6[迁移探究2](变问法)在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋π6]＝2sin2x－2m－π6是偶函数，所以2m－π6＝π2(2k＋1)，k∈Z，m＝kπ2＋π3，k∈Z，又因为m0，所以m的最小值为π3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种作法五点法设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”[注意]平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．1．(2018·高考天津卷)将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间3π4，5π4上单调递增B．在区间3π4，π上单调递减C．在区间5π4，3π2上单调递增D．在区间3π2，2π上单调递减解析：选A.把函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g(x)＝sin2x－π10＋π5＝sin2x的图象，由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ(k∈Z)得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得3π4≤x≤5π4，即函数g(x)＝sin2x的一个单调递增区间为3π4，5π4，故选A.2．(2019·广州市调研测试)将函数y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin3x－16π的图象，则f(x)＝()A．sin32x＋16πB．sin6x－16πC．sin32x＋13πD．sin6x＋13π解析：选B.法一：由题设知，f12x＋π3＝sin3x－16π.设12x＋π3＝t，则x＝2t－2π3，所以f(t)＝sin32t－2π3－16π＝sin6t－16π.故f(x)＝sin6x－16π.故选B.法二：由题设知，先将函数y＝sin3x－16π的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移π3个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin3×2x－π3－16π＝sin6x－16π.故选B.(2019·重庆六校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A，ω，φ是常数，A0，ω0，0φπ2的部分图象如图所示，则f－π3＝________．由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(师生共研)【解析】由函数的图象可得A＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝kπ(k∈Z)，又0φπ2，所以φ＝π3，故f(x)＝2sin2x＋π3，所以f－π3＝－62.【答案】－62确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)．1．(2019·兰州实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．解析：由题意得，A＝3，T＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋kπ，k∈Z，由0φπ，取k＝0，则φ＝π2，所以f(x)＝3cosπ2x＋π2，所以f(1)＝－3.答案：－32．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象上有一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点(6，0)，则此解析式为________________．解析：由题意得：A＝2，T4＝6－2，T＝16，ω＝2πT＝π8，又sinπ8×2＋φ＝1，π4＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π4，所以函数解析式为y＝2sinπ8x＋π4.答案：y＝2sinπ8x＋π4某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为________℃.三角函数模型的简单应用(师生共研)【解析】因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t24，所以π3≤π12t＋π37π3，所以－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.【答案】4三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．解：连接MP(图略)．依题意，有A＝23，T4＝3，又T＝2πω，所以ω＝π6，所以y＝23sinπ6x.当x＝4时，y＝23sin2π3＝3，所以M(4，3)．又P(8，0)，所以|MP|＝（－4）2＋32＝5.即M，P两点相距5km.函数与方程思想在三角函数中的应用已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在0，π2上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．【解析】方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0⇔m＝2sin2x＋π6，要使原方程在0，π2上有两个不同实根，函数y＝2sin2x＋π6与y＝m在0，π2上有两个不同交点，如图，需满足1≤m2.【答案】[1，2)本题是将方程根的问题转化为函数y＝m和y＝2sin2x＋π6图象的交点，再利用数形结合进行求解，充分体现数学思想．函数f(x)＝3sinπ2x－log12x的零点的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：选D.函数f(x)零点个数即为y＝3sinπ2x与y＝log12x交点个数，如图，函数y＝3sinπ2x与y＝log12x有5个交点．