2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 3 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公

第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式第四章三角函数、解三角形1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝____________________；cos(α∓β)＝____________________；tan(α±β)＝________________α±β，α，β均不为kπ＋π2，k∈Z.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝____________________；cos2α＝_______________＝_____________＝_____________；tan2α＝____________α，2α均不为kπ＋π2，k∈Z.2tanα1－tan2α2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α3．三角函数公式的关系常用知识拓展三角函数公式的变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．()(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．()(3)cos80°cos20°－sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12.()(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(5)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)化简cos18°cos42°－cos72°sin42°的值为()A．32B．12C．－12D．－32解析：选B.法一：原式＝cos18°cos42°－sin18°sin42°＝cos(18°＋42°)＝cos60°＝12.法二：原式＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.(2019·开封市定位考试)已知cosπ2＋α＝－13，则cos2α的值为()A．－79B.79C．－223D.13解析：选B.因为cosπ2＋α＝－13，所以sinα＝13，所以cos2α＝1－2×132＝79，故选B.(教材习题改编)已知cosα＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)的值为________．解析：因为cosα＝－35，α是第三象限的角，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－（－35）2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cosπ4cosα－sinπ4sinα＝22×(－35)－22×(－45)＝210.答案：210sin15°＋sin75°的值是________．解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62.答案：62(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tanα＝________．三角函数公式的直接应用(师生共研)【解析】(1)通解依题意得4sinαcosα＝2cos2α，由α∈0，π2，知cosα0，所以2sinα＝cosα.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝15.又α∈0，π2，所以sinα＝55，选B.优解依题意得sin2α1＋cos2α＝12，即tanα＝12，所以sinα＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1＝55，选B.(2)法一：因为tanα－5π4＝15，所以tanα－tan5π41＋tanαtan5π4＝15，即tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.法二：因为tanα－5π4＝15，所以tanα＝tanα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.【答案】(1)B(2)32利用三角函数公式时应注意的问题(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．1．已知sinπ6－α＝cosπ6＋α，则tanα＝()A．－1B．0C．12D．1解析：选A.因为sinπ6－α＝cosπ6＋α，所以12cosα－32sinα＝32cosα－12sinα.所以1－32cosα＝3－12sinα.所以tanα＝sinαcosα＝－1，故选A.2．(一题多解)(2019·南宁联考)若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝()A．－43B．34C．－34D．43解析：选D.法一：由题意知，tanα＝－2，tan2α＝2tanα1－tan2α＝43，故选D.法二：由题意知，sinα＝－2cosα，tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α－sin2α＝43，故选D.(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22B．22C．12D．－12(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)【解析】(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.(2)因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.【答案】(1)B(2)－12(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．1．(1－tan215°)cos215°的值等于()A．1－32B．1C．32D．12解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝32.2．已知sin2α＝13，则cos2α－π4＝()A．－13B．13C．－23D．23解析：选D.cos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝12＋12sin2α＝12＋12×13＝23.3．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是()A．－235B．235C．45D．－45解析：选D.由cosα－π6＋sinα＝435，可得32cosα＋12sinα＋sinα＝435，即32sinα＋32cosα＝435，所以3sinα＋π6＝435，sinα＋π6＝45，所以sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.角度一三角函数公式中变“角”(2019·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝2425，则cosα＋π4＝________．两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)【解析】由题意知，α＋β∈3π2，2π，sin(α＋β)＝－350，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈π2，3π4，所以cosβ－π4＝－725，cosα＋π4＝cos（α＋β）－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝－45.【答案】－45角度二三角函数公式中变“名”(1)化简：（1＋sinθ＋cosθ）sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.【解】(1)由θ∈(0，π)，得0θ2π2，所以cosθ20，所以2＋2cosθ＝4cos2θ2＝2cosθ2.又(1＋sinθ＋cosθ)sinθ2－cosθ2＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ2＝2cosθ2sin2θ2－cos2θ2＝－2cosθ2cosθ，故原式＝－2cosθ2cosθ2cosθ2＝－cosθ.(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin（30°－10°）2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角函数公式应用的解题思路(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，π4＋α＋π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[提醒]转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．1．已知tan(α＋β)＝1，tanα－π3＝13，则tanβ＋π3的值为()A．23B．12C．34D．45解析：选B.tanβ＋π3＝tan（α＋β）－α－π3＝tan（α＋β）－tanα－π31＋tan（α＋β）tanα－π3＝1－131＋1×13＝12.2．已知tanθ＋1tanθ＝4，则cos2θ＋π4＝()A．12B．13C．14D．15解析：选C.由tanθ＋1tanθ＝4，得sinθcosθ＋cosθsinθ＝4，即sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝4，所以sinθcosθ＝14，所以cos2θ＋π4＝1＋cos2θ＋π22＝1－sin2θ2＝1－2sinθcosθ2＝1－2×142＝1