2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 2 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式第四章三角函数、解三角形1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_________________．(2)商数关系：tanα＝_________．sin2α＋cos2α＝1sinαcosα[提醒]基本关系式的变形sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝tanαcosα，cosα＝sinαtanα，(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．六组诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα______－sinαsinα______cosα余弦cosα－cosα______－cosαsinα______－sinαcosαcosα－sinα组数一二三四五六正切tanαtanα－tanα______口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限[提醒]诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．－tanα判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cosθ＝13.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213B．－513C．513D．213解析：选A.因为α是第二象限角，所以cosα＜0，可排除选项C，D，又由sin2α＋cos2α＝1，可得cosα＝－1213.若sinθcosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ的值是()A．－2B．2C．±2D．12解析：选B.tanθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝2.(教材习题改编)tan－23π3的值为________．解析：tan－23π3＝tan－8π＋π3＝tanπ3＝3.答案：3化简1－cos22θcos2θtan2θ＝________．解析：1－cos22θcos2θtan2θ＝sin22θcos2θ·sin2θcos2θ＝sin2θ.答案：sin2θ(1)(2019·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cosα＝－35，则tanα＝()A．34B．－34C．43D．－43(2)(一题多解)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα＝______．同角三角函数的基本关系式(师生共研)【解析】(1)因为cosα＝－35且α∈(0，π)，所以sinα＝1－cos2α＝45，所以tanα＝sinαcosα＝－43.故选D.(2)法一：由已知可得sinα＋3cosα3cosα－sinα＝sinα＋3cosαcosα3cosα－sinαcosα＝tanα＋33－tanα＝5，整理得tanα＝2.从而sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α－sinαcosαcos2αsin2α＋cos2αcos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝22－222＋1＝25.法二：由已知可得sinα＋3cosα＝5(3cosα－sinα)，即6sinα＝12cosα，也就是sinα＝2cosα，所以tanα＝sinαcosα＝2，从而sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α－sinαcosαcos2αsin2α＋cos2αcos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝22－222＋1＝25.法三：由法二知sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝15，从而sin2α－sinαcosα＝4cos2α－2cos2α＝2cos2α＝25.【答案】(1)D(2)25同角三角函数关系式的应用(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的角限不明确时，要进行分类讨论．(3)分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式，往往转化为关于tanα的式子求解．1．已知3sinαsinα＋cosα＝2，则sinα－4cosα5sinα＋2cosα的值为________．解析：由3sinαsinα＋cosα＝2得3sinα＝2sinα＋2cosα，即tanα＝2，sinα－4cosα5sinα＋2cosα＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.答案：－162．已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα的值为________．解析：由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，且sinα0，cosα0，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，所以cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.答案：－105已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为()A．23B．－23C．13D．－13利用sinα±cosα与sinαcosα的关系求值(师生共研)【解析】因为(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝169，所以2sinθcosθ＝79，则(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθ＝29.又因为θ∈0，π4，所以sinθ＜cosθ，即sinθ－cosθ＜0，所以sinθ－cosθ＝－23.【答案】Bsinα±cosα与sinαcosα关系的应用技巧(1)通过平方，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之间可建立联系，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝t2－12，sinα－cosα＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，可以知一求二．(一题多解)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C．22D．1解析：选A.法一：因为sinα－cosα＝2，所以(sinα－cosα)2＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0，2π)，所以2α＝3π2.所以α＝3π4，所以tanα＝－1.法二：由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，得2cos2α＋22cosα＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，所以cosα＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tanα＝tan3π4＝－1.法三：因为sinα－cosα＝2，所以2sinα－π4＝2，所以sinα－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tanα＝－1.(1)sin(－1200°)cos1290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋2cos（π－θ）sinπ2－θ－sin（π－θ）等于________．诱导公式的应用(典例迁移)【解析】(1)原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin60°cos30°＝32×32＝34.(2)由题可知tanθ＝3，原式＝－cosθ－2cosθcosθ－sinθ＝－31－tanθ＝32.【答案】(1)34(2)32[迁移探究](变问法)若本例(2)的条件不变，则cosπ2＋θ－sin（－π－θ）cos11π2－θ＋sin9π2＋θ＝________．答案：3解析：由题可知tanθ＝3，原式＝－sinθ＋sin（π＋θ）cos6π－π2－θ＋sin4π＋π2＋θ＝－sinθ－sinθcosπ2＋θ＋sinπ2＋θ＝－2sinθ－sinθ＋cosθ＝2tanθtanθ－1＝2×33－1＝3.(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．(2019·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝()A．2425B．1225C．－1225D．－2425解析：选D.由sin(π2＋α)＝cosα＝－35，且α∈(π2，π)，得sinα＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－2425，选项D正确．2．cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________．解析：cos(－1020°)sin(－1050°)＝－cos1020°sin1050°＝cos60°sin30°＝14.答案：143．已知cosπ6－θ＝a，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________．解析：因为cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a.sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，所以cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.答案：0数学运算——三角函数式的化简与求值数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．已知sinα＝255，求tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α的值．【解】因为sinα＝255＞0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝tanα＋cosαsinα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα.(1)当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝55，原式＝1sinαcosα＝52.(2)当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－55，原式＝1sinαcosα＝－52.综合(1)(2)知，原式＝52或－52三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算．1．(2019·湖北七市(州)3月联考)已知α∈(0，π)，且cosα＝－513，则sinπ2－α·tanα＝()A．－1213B．－513C．1213D．513解析：选C.因为α∈(0，π)，且cosα＝－513，所以sinα＝1213，由诱导公式及同角三角函数的商数关系知sinπ2－α·tanα＝cosα·sinαcosα＝sinα＝1213.故选C.2．化简：sin（π－α）＋sinαcosα1＋sinπ2＋αtanα＝________．解析：sin（π－α）＋sinαcosα1＋sinπ2＋αtanα＝sinα＋sinαcosα（1＋cosα）tanα＝sinαtanα＝cosα.答案：cosα