2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7讲 二项分布及其应用课件

第7讲二项分布及其应用第十章计数原理、概率、随机变量及其分布1．条件概率(1)定义设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．(2)性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝_______＋________．P(B|A)P(C|A)2．事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝__________，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝______，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝__________．②如果事件A与B相互独立，那么________，________，_________也相互独立．P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)A与B－A－与BA－与B－3．独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为____________计算公式用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)成功概率判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．()(2)相互独立事件就是互斥事件．()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√设随机变量X～B6，12，则P(X＝3)等于()A.516B.316C.58D.38解析：选A.因为X～B6，12，所以P(X＝3)＝C36123×1－123＝516.在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为()A.12B.25C.35D.34解析：选D.设“第1次抽到文科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次抽到文科题第2次抽到理科题”就是事件AB.P(A)＝n（A）n（Ω）＝2×420＝25.P(AB)＝n（AB）n（Ω）＝2×320＝310.P(B|A)＝P（AB）P（A）＝310410＝34.某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．解析：可看作3次独立重复试验，则P＝C23×0.62×0.4＋0.63＝81125.答案：81125(教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(A－B－)＝P(A－)·P(B－)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P(A－B－)＝1－12＝12.答案：12[典例引领](1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18B.14C.25D.12条件概率(2)将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个3点”，则P(A|B)＝()A.6091B.12C.712D.81125【解析】(1)P(A)＝C23＋C22C25＝410＝25，P(AB)＝C22C25＝110，由条件概率公式，得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110410＝14.(2)P(A|B)表示在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个3点”的情况数目为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”则只有一个3点，共C13×5×4＝60种情况，故P(A|B)＝6091.【答案】(1)B(2)A把本例(1)事件A中的“和”变为“积”，其他条件不变，则P(B|A)＝________．解析：事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以P(A)＝710.事件B：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2，4)，所以P(AB)＝110，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110710＝17.答案：17条件概率的两种求解方法[通关练习]1．根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为310，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为()A.911B.89C.25D.811解析：选B.设事件A表示宜都三月份吹东风，事件B表示三月份下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)＝830310＝89.2．(2019·武汉市武昌区调研考试)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝()A.29B.13C.49D.59解析：选A.小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A44＝4×3×2×1＝24种，所以P(A|B)＝24108＝29.[典例引领](2017·高考天津卷节选)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．相互独立事件的概率【解】(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14，P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝1124，P(X＝2)＝1－12×13×14＋12×1－13×14＋12×13×1－14＝14，P(X＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．[通关练习]1．在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为13，乙同学选做《不等式选讲》的概率为14，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为________．解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B，且A，B相互独立．依题意，P(A)＝1－13＝23，P(B)＝1－14＝34.又P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×34＝12.甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所求概率为1－P(AB)＝1－12＝12.答案：122．计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，则谁获得“合格证书”的可能性大？(2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证书”的概率．解：(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，“丙获得‘合格证书’”为事件C，则P(A)＝45×12＝25，P(B)＝34×23＝12，P(C)＝23×56＝59，从而P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得“合格证书”的可能性大．(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D，则P(D)＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130.[典例引领](2019·南昌市第一次模拟)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：空气质量指数(0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染独立重复试验与二项分布该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．(1)请估算2017年(以365天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；(2)该校2017年6月7，8，9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列．【解】(1)由直方图可估算2017年(以365天计算)全年空气质量优良的天数为(0.1＋0.2)×365＝0.3×365＝109.5≈110(天)．(2)由题可知，X的所有可能取值为0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，则P(X＝0)＝453＝64125，P(X＝10000)＝C13×110×452＝24125，P(X＝20000)＝C23×1102×45＋C13×110×452＝108500＝27125，P(X＝30000)＝1103＋C13×110×C12×110×45＝491000，P(X＝40000)＝C23×1102×110＋C23×(110)2×45＝271000，P(X＝50000)＝C23×1102×110＝31000，P(X＝60000)＝1103＝11000.所以X的分布列为X0100002000030000400005000060000P6412524125271254910002710003100011000(1)二项分布满足的条件①在每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．(2)求解独立重复试验类型的策略①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n