2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6讲 离散型随机变量及其分

第6讲离散型随机变量及其分布列第十章计数原理、概率、随机变量及其分布1．离散型随机变量(1)随机变量特点：随着试验结果的变化__________的变量．表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量的特点所有取值可以_____________出来．而变化一一列举2．离散型随机变量的分布列(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式_____________________________表示X的分布列．(2)性质：①___________________________；②∑ni＝1pi＝1.P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，npi≥0(i＝1，2，…，n)3．常见的两类特殊分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P________p其中p＝__________称为成功概率．1－pP(X＝1)(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，即：X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．()(2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．()(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(6)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．()X25P0.30.7答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)√(6)×(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是()X1234P121418p4A.1B.12C.14D.18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p4＝1，所以p4＝18.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0B．12C．13D．23解析：选C.设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功．由p＋2p＝1，得p＝13，故应选C.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝k15，k＝1，2，3，4，5，则P12X52＝________．解析：P12X52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝115＋215＝15.答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X的分布列为________．解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列为P(X＝k)＝Ck3·C4－k7C410，k＝0，1，2，3.答案：P(X＝k)＝Ck3·C4－k7C410，k＝0，1，2，3[典例引领]设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)P(1＜X≤4)．离散型随机变量的分布列的性质【解】由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)P(1＜X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.在本例条件下，求|X－1|的分布列．解：|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n的值为()A．3B．4C．10D．不确定解析：选C.“X＜4”的含义为X＝1，2，3，所以P(X＜4)＝3n＝0.3，所以n＝10.(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列；(2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)离散型随机变量的分布列[典例引领]角度一用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．【解】(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为X23P1434角度二古典概型的离散型随机变量的分布列(2017·高考山东卷节选)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【解】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝C48C510＝518.(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒]求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n的最大值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C1n－6C16C2n＝12（n－6）n（n－1），则12（n－6）n（n－1）≥12，化简得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值为16.(2)由题意得，X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝C26C212＝522，P(X＝1)＝C16C16C212＝611，P(X＝2)＝C26C212＝522，X的分布列为X012P522611522[典例引领](2018·高考天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．超几何分布【解】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k3C37(k＝0，1，2，3)．所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.(ii)设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由(i)知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝67.所以，事件A发生的概率为67.超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．[通关练习]1．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是()A.435B.635C.1235D.36343解析：选C.如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝C23C14C37＝1235.2．第二十八届亚洲男篮锦标赛在长沙举行，为了做好亚锦赛期间的接待服务工作，长沙大学学生实践活动中心从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加亚锦赛的志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列．解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从超几何分布．X的所有可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝i)＝Ci3C3－i5C38(i＝0，1，2，3)．由公式可得P(X＝0)＝C03C35C38＝528，P(X＝1)＝C13C25C38＝1528，P(X＝2)＝C23C15C38＝1556，P(X＝3)＝C33C05C38＝156.所以X的分布列为X0123P52815281556156对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．(2)对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．