2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第4讲 随机事件与古典概型课

第4讲随机事件与古典概型第十章计数原理、概率、随机变量及其分布1．概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝____为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用___________来估计概率P(A)．nAn频率fn(A)2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A____，则事件B____________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)______(或_______)相等关系若B⊇A且______，那么称事件A与事件B相等______发生一定发生B⊇AA⊆BA⊇BA＝B定义符号表示并事件(和事件)若某事件发生________________________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)______(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生____________________________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)______(或_____)当且仅当事件A发生或A∪B当且仅当事件A发生且A∩BAB事件B发生事件B发生定义符号表示互斥事件若A∩B为______事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为______事件，A∪B为____________，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω不可能不可能必然事件3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：____________．(2)必然事件的概率：P(A)＝___．(3)不可能事件的概率：P(A)＝___．(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝____________．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝___，P(A)＝_________．10P(A)＋P(B)11－P(B)0≤P(A)≤14．古典概型(1)基本事件的特点①任何两个基本事件是_____的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．(2)特点①试验中所有可能出现的基本事件只有_______个，即_________．②每个基本事件发生的可能性______，即_____________．(3)概率公式P(A)＝___________________________．互斥基本事件有限有限性相等等可能性A包含的基本事件的个数基本事件的总数5．对古典概型的理解(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．(2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．()(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.()(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×(2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13解析：选A.由题意得，甲不输的概率为12＋13＝56.(教材习题改编)若A，B为对立事件，则()A．P(A＋B)≤1B．P(AB)＝1C．P(AB)＝0D．P(A)＋P(B)≤1解析：选C.由对立事件的定义可知：P(A＋B)＝1，P(A)＋P(B)＝1，P(AB)＝0.因此C选项正确．在集合x|x＝nπ6，n＝1，2，3，…，10中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cosx＝12的概率是________．解析：基本事件总数为10，满足方程cosx＝12的基本事件数为2，故所求概率为P＝210＝15.答案：15掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B－发生的概率为________．解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，所以P(B－)＝1－P(B)＝1－23＝13，显然A与B－互斥，从而P(A＋B－)＝P(A)＋P(B－)＝13＋13＝23.答案：23[典例引领](2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：随机事件的频率与概率最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900，300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.[通关练习]1．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.715B.25C.1115D.1315解析：选C.由题意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200＋2100＝3300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为33004500＝1115.2．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.[典例引领]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．互斥事件、对立事件的概率【解】(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝120，因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501000＝611000，故1张奖券的中奖概率为611000.(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－11000＋1100＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.[提醒]间接法体现了“正难则反”的思想方法．[通关练习]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.古典概型是高考考查的热点，考查角度较灵活，常与一些知识交汇考查，其难度较小．高考对本部分内容的考查主要有以下五个命题角度：(1)简单的古典概型的概率；(2)古典概型与平面向量的交汇；(3)古典概型与函数(方程)的交汇；(4)古典概型与解析几何的交汇；(5)古典概型与统计的交汇(下章讲解)．古典概型的概率(高频考点)[典例引领]角度一简单的古典概型的概率(2018·高考全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝3C210＝115，故选C.【答案】C角度二古典