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第4讲概率与统计的综合问题第十一章统计、统计案例某中学高三年级共有学生1000人，将某次模拟考试的数学成绩(满分150分，所有成绩均不低于70分)按[70，80)，[80，90)，…，[140，150]分成8组，并制成如图所示的频率分布直方图．“双图”“五数”及概率(师生共研)(1)求x的值；(2)用分层抽样的方法从成绩在[70，90)内的试卷中抽取7份，求这7份试卷中成绩在[70，80)内的试卷数；(3)从(2)中抽出的7份试卷中任取2份，求成绩在[70，80)和[80，90)内的试卷各有1份的概率．【解】(1)由(0.002＋0.005＋0.008＋2x＋2×0.02＋0.025)×10＝1，得x＝0.01.(2)成绩在[70，80)内的试卷数为1000×0.002×10＝20，成绩在[80，90)内的试卷数为1000×0.005×10＝50.故这7份试卷中成绩在[70，80)内的试卷数为7×27＝2(份)．(3)由(2)知成绩在[70，80)内的试卷数为2，分记为A1，A2，成绩在[80，90)内的试卷数为5，分别记为B1，B2，B3，B4，B5，从中任取2份试卷的所有情况为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，B5)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B3，B4)，(B3，B5，)(B4，B5)，共21种．成绩在[70，80)和[80，90)内的试卷各有1份的情况为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，B5)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，共10种，记“从这7份试卷中任取2份，成绩在[70，80)和[80，90)内的试卷各有1份”为事件M，则P(M)＝1021.求解此类问题的关键是准确地掌握数与形的语言转换要领．一是会画图，二是会读图，三是会用公式，四是能准确计算．(2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：(1)求甲在比赛中得分的均值和方差的大小；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．解：(1)甲在比赛中得分的均值x－＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.(2)题设所述的6场比赛甲得分分别为：7，8，10，15，17，19.从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种．其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共6种，所以所求概率P＝615＝25.某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区共投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．频率直方图与统计案例(师生共研)(1)根据频率分布直方图计算图中各小矩形的宽度；(2)试估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)；(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x/万元12345销售收益y/万元2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将(2)的结果填入空白栏，并求出y关于x的回归直线方程．附参考公式：b^＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a^＝y－－b^x－.【解】(1)设各小矩形的宽度为m，由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1，可知(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)·m＝1，解得m＝2.故图中各小矩形的宽度为2.(2)由(1)知各分组依次是[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，它们的中点的横坐标分别为1，3，5，7，9，11，各组对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计销售收益的平均值为1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5.(3)由(2)可知空白栏中填5.由题意可知，x－＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y－＝2＋3＋2＋5＋75＝3.8，i＝15xiyi＝1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＝69.i＝15x2i＝12＋22＋32＋42＋52＝55，所以b^＝69－5×3×3.855－5×32＝1.2，a^＝3.8－1.2×3＝0.2，故所求的回归直线方程为y^＝1.2x＋0.2.求解频率分布直方图与回归直线方程相交汇题的关键：一是会观图读数据，即会利用频率分布直方图，读出相关的数据；二是会用公式，如会用平均数的计算公式求样本的平均数，会利用回归系数a^，b^的计算公式求出a^，b^，从而得其回归直线方程．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如下：(1)估计旧养殖法的箱产量低于50kg的概率；(2)填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．箱产量＜50kg箱产量≥50kg合计旧养殖法新养殖法合计附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，所以旧养殖法的箱产量低于50kg的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得2×2列联表如下：箱产量＜50kg箱产量≥50kg合计旧养殖法6238100新养殖法3466100合计96104200K2＝200×（62×66－34×38）2100×100×96×104≈15.705，由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(2019·郑州第一次质量测试)2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质情况，现抽取了某校1000名(男生800名，女生200名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生的测试成绩进行分析，得到如下统计表：概率与统计案例(师生共研)男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2(1)现从抽取的100名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出2名学生，求选出的这2名学生恰好是一男一女的概率；(2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其他等级(含病残免试)的学生为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关？”男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.【解】(1)按分层抽样的知识知男生应抽取80名，女生应抽取20名．所以x＝80－(5＋10＋15＋47)＝3，y＝20－(2＋3＋10＋2)＝3.抽取的100名且测试等级为“优秀”的3名男生分别记为A，B，C，2名女生分别记为a，b.从5名学生中任选2名，总的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10个．设“选出的2名学生恰好是一男一女”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，共6个，所以P(M)＝610＝35.(2)2×2列联表如下：男性女性总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100则K2＝100×（50×15－30×5）280×20×55×45≈9.091.因为9.091＞6.635且P(K2≥6.635)＝0.010.所以能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．求解概率、统计综合问题的一般步骤第一步：审清题意．理清条件和结论，找到关键数量关系．第二步：找数量关系．把图形语言转化为数字，将图表中的数字转化为公式中的字母．第三步：建立解决方案．找准公式，根据图表数据代入公式计算数值．第四步：作出判断得结论．依据数据，借助数表作出正确判断．(2019·江西七校第一次联考)最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：年级号x12345近视率y0.050.090.160.200.25根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率．附：回归直线y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,a^＝.解：(1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a1，a2，b1，b2，c.从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，c)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，(b1，b2，c)，共10种．设事件A表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A包含的基本事件为(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，共4种，故P(A)＝410＝25.(2)由题中表格数据得x－＝3，y－＝0.15，5x－y－＝2.25，5x－2＝45，且由参考数据：得b^＝2.76－2.2555－45＝0.051，a^＝0.15－0.051×3＝－0.003，得线性回归方程为y^＝0.051x－0.003.当x＝6时，代入得y^＝0.051×6－0.003＝0.303，所以六年级学生的近视率在0.303左右．