2020版高考数学大一轮复习 第十一章 统计、统计案例 3 第3讲 变量间的相关关系、统计案例课件

第3讲变量间的相关关系、统计案例第十一章统计、统计案例1．变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是______________；与函数关系不同，____________是一种非确定性关系．相关关系相关关系2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有_____________，这条直线叫____________．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为____________，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为____________．线性相关关系回归直线正相关负相关(3)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a^＝____________．(4)相关系数当r0时，表明两个变量____________；当r0时，表明两个变量____________．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性____________．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于____________时，认为两个变量有很强的线性相关性．正相关负相关越强0.75y－－b^x－3．独立性检验(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：y1y2总计x1ab_________x2cdc＋d总计a＋c_________a＋b＋c＋d(2)K2统计量K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．a＋bb＋d判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．()(2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．()(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．()(4)事件X，Y的关系越密切，由观测数据计算得到的K2的观测值越大．()(5)通过回归方程y^＝b^x＋a^可以估计和观测变量的取值和变化趋势．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是()A.y^＝－10x＋200B.y^＝10x＋200C.y^＝－10x－200D.y^＝10x－200解析：选A.因为商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，所以b^0，排除B，D.又因为x＝0时，y0，所以应选A.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多少的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．()附：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%解析：选C.因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．下面是一个2×2列联表y1y2总计x1a2173x222527总计b46则表中a、b处的值分别为________．解析：因为a＋21＝73，所以a＝52.又因为a＋2＝b，所以b＝54.答案：52、54已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y^＝0.95x＋a^，则a^＝________．x0134y2.24.34.86.7解析：由已知得x－＝2，y－＝4.5，因为回归方程经过点(x－，y－)，所以a^＝4.5－0.95×2＝2.6.答案：2.6已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关相关关系的判断(师生共研)【解析】因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝b^y＋a^，b^0，则z＝b^y＋a^＝－0.1b^x＋b^＋a^，故x与z负相关．【答案】C判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r0时，正相关；r0时，负相关．(3)线性回归方程中：b^0时，正相关；b^0时，负相关．1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，得表1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，3，4，5)，得表2.由这两个表可以判断()表1：x12345y2.93.33.64.45.1表2：u12345v2520211513A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y负相关，u与v正相关C．变量x与y负相关，u与v负相关D．变量x与y正相关，u与v负相关解析：选D.由题可知，随着x的增大，对应的y值增大，其散点图呈上升趋势，故x与y正相关；随着u的增大，v减小，其散点图呈下降趋势，故u与v负相关．(2019·石家庄质量检测(二))随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据．月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5线性回归方程及其应用(师生共研)(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明；(系数精确到0.001)(2)建立y关于x的回归方程y^＝b^x＋a^(系数精确到0.01)，如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元．(结果精确到0.01)参考数据：i＝18（xi－11）（yi－3）＝74.5，i＝18（xi－11）2＝340，i＝18(yi－3)2＝16.5，340≈18.44，16.5≈4.06，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1，2，3，…，8.参考公式：(i)样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数r＝i＝1n（xi－x－）（yi－y－）i＝1n（xi－x－）2i＝1n（yi－y－）2.(ii)对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2，a^＝y－－b^x－.【解】(1)由题可知x－＝11，y－＝3，将数据代入r＝i＝1n（xi－x－）（yi－y－）i＝1n（xi－x－）2i＝1n（yi－y－）2，得r≈74.518.44×4.06＝74.574.8664≈0.995.因为y与x的相关系数近似为0.995，说明y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．(需要突出“很强”，“一般”或“较弱”不给分)(2)将数据代入b^＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2，得b^＝74.5340≈0.219，则a^＝y－－b^x－≈3－0.219×11≈0.59.因为0.219≈0.22，所以y关于x的回归方程为y^＝0.22x＋0.59.由y^＝0.22x＋0.59＞6，解得x＞24.59，即至少需要投入促销费用24.59万元．线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求线性回归方程①利用公式，求出回归系数b^，a^；②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．(2)样本数据的相关系数r＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2∑ni＝1（yi－y－）2，反映样本数据的相关程度，|r|越大，则相关性越强．(2019·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量x，y的几组数据如下表所示：x246810y3671012(1)请根据上表数据在网络纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并估计当x＝20时y的值．参考公式：b^＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2，a^＝y－－b^x－.解：(1)散点图如图所示：(2)依题意x－＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y－＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，i＝15xi2＝4＋16＋36＋64＋100＝220，i＝15xiyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b^＝∑5i＝1xiyi－5x－y－∑5i＝1x2i－5x－2＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1，所以a^＝7.6－1.1×6＝1.所以线性回归方程y^＝1.1x＋1，故当x＝20时，y＝23.(2018·高考全国卷Ⅲ节选)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：独立性检验(师生共研)(1)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(2)根据(1)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），【解】(1)由茎叶图知m＝79＋812＝80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(2)由于K2＝40（15×15－5×5）220×20×20×20＝106.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．(1)独立性检验的一般步骤①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）计算K2的值；③查表比较K2与临界值的大小关系，作出统计判断．(2)解独立性检验的应用问题的关注点①两个明确：(ⅰ)明确两类主体；(ⅱ)明确研究的两个问题；②两个准确：(ⅰ)准确画出2×2列联表；(ⅱ)准确理解K2.(2019·广东七校联考)某淘宝店经过对“十一”七天假期的消费情况进行统计，发现在金额不超过1000元的消费者中男女之比约为1∶4，该店按此比例抽取了100名消费者进行进一步分析，得到下表．女性消费情况：消费金额/元(0，200)[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000]人数51015473男性消费情况：消费金额/元(0，200)[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000]人数231032若消费金额不低于600元的消费者称为“网购达人”、低于600元的消费者称为“非网购达人”．(1)分别计算女性和男性消费的平均数，并判断平均消费水平高的一方“网购达人”出手是否更阔绰？(2)根据以上统计数据填写如下2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“是否