2020版高考数学大一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第3讲 合情推理与演绎推理课件 理

第3讲合情推理与演绎推理第十二章复数、算法、推理与证明1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的_____来确定一个新的______的思维过程．(2)分类：推理_______________________判断判断合情推理演绎推理2．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由______到_____、由______到______的推理由_____到_____的推理部分整体个别一般特殊特殊3.演绎推理(1)定义：从_______________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由_____到_______的推理．(3)模式：三段论①大前提：已知的____________；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对____________做出的判断.一般性的原理一般特殊一般原理特殊情况判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(教材习题改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．an＝3n－1B．an＝4n－3C．an＝n2D．an＝3n－1解析：选C.由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；a4＝a3＋2×4－1＝16，所以an＝n2.(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．答案：②在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶8归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：(1)与数字(数列)有关的等式的推理；(2)与不等式(式子)有关的推理；(3)与图形变化有关的推理．归纳推理(高频考点)[典例引领]角度一与数字(数列)有关的等式的推理有一个奇数组成的数阵排列如下：1371321…591523……111725………1927…………29……………………………则第30行从左到右第3个数是________．【解析】观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1051.【答案】1051角度二与不等式(式子)有关的推理(2016·高考山东卷)观察下列等式：sinπ3－2＋sin2π3－2＝43×1×2；sinπ5－2＋sin2π5－2＋sin3π5－2＋sin4π5－2＝43×2×3；sinπ7－2＋sin2π7－2＋sin3π7－2＋…＋sin6π7－2＝43×3×4；sinπ9－2＋sin2π9－2＋sin3π9－2＋…＋sin8π9－2＝43×4×5；……照此规律，sinπ2n＋1－2＋sin2π2n＋1－2＋sin3π2n＋1－2＋…＋sin2nπ2n＋1－2＝__________．【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为43n(n＋1)．【答案】43n(n＋1)角度三与图形变化有关的推理我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为()A．f(n)＝2n－1B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2nD．f(n)＝2n2－2n＋1【解析】我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.【答案】D归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．[通关练习]1．观察三角数阵，记第n行的第m个数为a(n，m)，则下列关系正确的是()111121133114641…11045…45101A．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)B．a(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)C．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)D．a(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)解析：选A.观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩上”两个数之和．所以a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．2．(2019·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．n级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3(n∈N*)．答案：3×2n－3(n∈N*)[典例引领]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．类比推理【解】如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，在四面体P­DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋b2c2＝1.于是把结论类比到四面体P­A′B′C′中，我们猜想，四面体P­A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.[通关练习]1．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b0⇒ab”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z20⇒z1z2”．其中类比得到的结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a，b，c，d都是有理数，2是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．2．(2019·山东烟台五校联考)已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)．△ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则sinA＋sinCsinB＝1e，现将该命题类比到双曲线中，△ABC的顶点B在双曲线上，顶点A，C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，双曲线的离心率为e，则有________________．解析：在双曲线中，设△ABC的外接圆的半径为r，则|AB|＝2rsinC，|AC|＝2rsinB，|BC|＝2rsinA，则由双曲线的定义得||BA|－|BC||＝2a，|AC|＝2c，则双曲线的离心率e＝ca＝|AC|||BA|－|BC||＝sinB|sinA－sinC|，即|sinA－sinC|sinB＝1e.答案：|sinA－sinC|sinB＝1e[典例引领]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N*)．证明：(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.演绎推理【证明】(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故Sn＋1n＋1＝2·Snn，(小前提)故Snn是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，所以Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)．又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]0，[f(x2)－