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知识点考纲下载复数理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.第十二章复数、算法、推理与证明知识点考纲下载算法与程序框图了解算法的含义，了解算法的思想．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.框图了解程序框图、工序流程图(即统筹图)与结构图．能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用．会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息.第十二章复数、算法、推理与证明知识点考纲下载合情推理与演绎推理了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.直接证明与间接证明了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.第十二章复数、算法、推理与证明第1讲数系的扩充与复数的引入第十二章复数、算法、推理与证明1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是____，虚部是____．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数（b____0），虚数（b____0）纯虚数（a____0，b____0），非纯虚数（a≠0，b≠0）.ab＝≠＝≠(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔____________________(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔____________________(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作____或____________，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a、b∈R)．a＝c且b＝da＝c且b＝－d|z||a＋bi|2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi←―――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←―――→一一对应平面向量OZ→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_____________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝______________________；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝__________________(c＋di≠0)．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝_______________．z2＋z1z1＋(z2＋z3)常用知识拓展1．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(2019·高考全国卷Ⅰ)设z＝3－i1＋2i，则|z|＝()A．2B.3C.2D．1解析：选C.法一：3－i1＋2i＝（3－i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝1－7i5，故|z|＝|1－7i5|＝505＝2.故选C.法二：|z|＝|3－i1＋2i|＝|3－i||1＋2i|＝105＝2.(教材习题改编)设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.由题意得x＋y＝2x＋3y，y－1＝2y＋1，所以x＝4，y＝－2，所以复数z＝4－2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．解析：因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.答案：5(教材习题改编)已知(1＋2i)z－＝4＋3i，则z＝________．解析：因为z－＝4＋3i1＋2i＝（4＋3i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝10－5i5＝2－i，所以z＝2＋i.答案：2＋i(1)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B．12C．1D．2复数的有关概念(师生共研)(2)(2019·湖北八校联考)已知复数z＝a2－i＋2－i5的实部与虚部的和为2，则实数a的值为()A．0B．1C．2D．3【解析】(1)法一：因为z＝1－i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.法二：因为z＝1－i1＋i＋2i＝1－i＋2i（1＋i）1＋i＝－1＋i1＋i，所以|z|＝－1＋i1＋i＝|－1＋i||1＋i|＝22＝1，故选C.(2)易知z＝a2－i＋2－i5＝a（2＋i）5＋2－i5＝2a＋25＋（a－1）i5，由题意得2a＋25＋a－15＝2，解得a＝3.故选D.【答案】(1)C(2)D解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．1．(2019·甘肃兰州模拟)把复数z的共轭复数记作z－，i为虚数单位，若z＝1＋i，则(1＋z)·z－＝()A.2＋1＋iB．3－iC.2＋1－iD．3＋i解析：选B.因为z＝1＋i，所以z－＝1－i，所以(1＋z)·z－＝z－＋z·z－＝1－i＋2＝3－i，故选B.2．(2019·山西八校第一次联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝2－bia＋i，则a＋b等于()A．－9B．5C．13D．9解析：选A.由3－4i3＝2－bia＋i得，3＋4i＝2－bia＋i，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，则3a－4＝2，4a＋3＝－b，解得a＝2，b＝－11，故a＋b＝－9.故选A.(1)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i(i为虚数单位)，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i(2)若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．复数的几何意义(师生共研)【解析】(1)因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤2得|x＋(y－1)i|≤2，所以x2＋（y－1）2≤2，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.【答案】(1)A(2)2π复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．1．(2019·南宁摸底联考)已知(1＋i)·z＝3i(i是虚数单位)，那么复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z＝3i，所以z＝3i1＋i＝3i（1－i）（1＋i）（1－i）＝3＋3i2，则复数z在复平面内对应的点的坐标为32，32，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2．(2019·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1·z2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.由已知OA→＝(－2，－1)，OB→＝(0，1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．(1)(2019·广东五校协作体第一次诊断考试)已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则a＋i20201＋i＝()A．1B．0C．1＋iD．1－i(2)(一题多解)(2019·广州调研测试)若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则|z|＝()A．25B．35C．105D．10复数代数形式的运算(师生共研)【解析】(1)z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有1＋i20201＋i＝1＋11＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝1－i.(2)法一：由(1＋2i)z＝1－i，可得z＝1－i1＋2i＝（1－i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝1－2i－i－25＝－15－35i，所以|z|＝1＋95＝105，故选C.法二：由(1＋2i)z＝1－i可得|(1＋2i)z|＝|1－i|，即|1＋2i||z|＝|1－i|，得到5|z|＝2，故|z|＝105，故选C.【答案】(1)D(2)C复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．1．(2019·江西省五校协作体试题)已知i是虚数单位，若z＋1i＝1－i1＋i2018，则|z|＝()A．1B.2C．2D.5解析：选B.1i＝－ii（－i）＝－i，1－i1＋i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＝－2i2＝－i，所以1－i1＋i2018＝(－i)2018＝i2018＝i504×4＋2＝i2＝－1，所以由z＋1i＝1－i1＋i2018，得z－i＝－1，z＝－1＋i，所以|z|＝2，故选B.2．若复数z满足2z＋z·z－＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z为()A．－1－iB．－1－2iC．－1＋2iD．1－2i解析：选B.设z＝a＋bi⇒2(a＋bi)＋(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＋2a＋2bi＝3－4i⇒a＝－1，b＝－2⇒z＝－1－2i.