2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第5讲 利用导数研究含参数不等式课件 理 新人教

第5讲利用导数研究含参数不等式第三章导数及其应用[典例引领](2019·安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)＝lnx.(1)求函数g(x)＝f(x＋1)－x的最大值；(2)若对任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围．分离参数求参数范围【解】(1)因为f(x)＝lnx.所以g(x)＝f(x＋1)－x＝ln(x＋1)－x，x＞－1.所以g′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1.当x∈(－1，0)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(－1，0)上单调递增；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝0.(2)因为对任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立．所以a≥lnxxa≤x＋1x在x＞0上恒成立，进一步转化为lnxxmax≤a≤x＋1xmin.设h(x)＝lnxx，则h′(x)＝1－lnxx2，当x∈(1，e)时，h′(x)＞0；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)＜0，所以h(x)≤1e.要使f(x)≤ax恒成立，必须a≥1e.另一方面，当x＞0时，x＋1x≥2，要使ax≤x2＋1恒成立，必须a≤2，所以满足条件的a的取值范围是1e，2.利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值；(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．[典例引领]函数f(x)＝x2－2ax＋lnx(a∈R)．(1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求a的值；(2)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．等价转化法求参数范围【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2a＋1x，f′(1)＝3－2a，由题意f′(1)·12＝(3－2a)·12＝－1，解得a＝52.(2)不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立等价于2lnx≥－x＋a－3x.令g(x)＝2lnx＋x－a＋3x，则g′(x)＝2x＋1－3x2＝x2＋2x－3x2＝（x＋3）（x－1）x2，则在区间(0，1)上，g′(x)0，函数g(x)为减函数；在区间(1，e]上，g′(x)0，函数g(x)为增函数．由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4，所以实数a的取值范围是(－∞，4]．根据不等式恒成立求参数范围的关键是把不等式转化为函数，利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围．[典例引领]设f(x)＝ax＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t∈12，2，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．含全称与存在量词的不等式问题【解】(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3xx－23.令g′(x)＞0得x＜0，或x＞23，令g′(x)＜0得0＜x＜23，又x∈[0，2]，所以g(x)在区间0，23上单调递减，在区间23，2上单调递增，所以g(x)min＝g23＝－8527，又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以g(x)max＝g(2)＝1.故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝11227≥M，则满足条件的最大整数M＝4.(2)对于任意的s，t∈12，2，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间12，2上，函数f(x)min≥g(x)max，由(1)可知在区间12，2上，g(x)的最大值为g(2)＝1.在区间12，2上，f(x)＝ax＋xlnx≥1恒成立等价于a≥x－x2lnx恒成立．设h(x)＝x－x2lnx，h′(x)＝1－2xlnx－x，令m(x)＝xlnx，由m′(x)＝lnx＋1＞0得x＞1e.即m(x)＝xlnx在1e，＋∞上是增函数，可知h′(x)在区间12，2上是减函数，又h′(1)＝0，所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；当12＜x＜1时，h′(x)＞0.即函数h(x)＝x－x2lnx在区间12，1上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．不等式在某个区间上恒成立(存在性成立)问题的转化途径(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；存在x使f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a.(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b，存在x使f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b.(3)f(x)＞g(x)恒成立F（x）＝f（x）－g（x）F(x)min＞0.(4)①任意x1∈M，任意x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)min＞g(x2)max；②任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)min＞g(x2)min；③存在x1∈M，存在x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)max＞g(x2)min；④存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)＞g(x2)⇔f(x1)max＞g(x2)max.