2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第4讲 利用导数证明不等式课件 理 新人教A版

第4讲利用导数证明不等式第三章导数及其应用[典例引领](2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0时，证明f(x)≤－34a－2.直接将不等式转化为函数的最值【解】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝（x＋1）（2ax＋1）x.当a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a0，则当x∈(0，－12a)时，f′(x)0；当x∈(－12a，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(0，－12a)上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a0时，f(x)在x＝－12a取得最大值，最大值为f(－12a)＝ln(－12a)－1－14a.所以f(x)≤－34a－2等价于ln(－12a)－1－14a≤－34a－2，即ln(－12a)＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝1x－1.当x∈(0，1)时，g′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x0时，g(x)≤0.从而当a0时，ln(－12a)＋12a＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式．[典例引领]已知f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx1ex－2ex成立．将不等式转化为两个函数的最值进行比较【解】(1)由f(x)＝xlnx，x0，得f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝1e.当x∈0，1e时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈1e，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递增．①当0t1et＋2，即0t1e时，f(x)min＝f1e＝－1e；②当1e≤tt＋2，即t≥1e时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt.所以f(x)min＝－1e，0t1etlnt，t≥1e.(2)证明：问题等价于证明xlnxxex－2e(x∈(0，＋∞))．由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x＝1e时取到．设m(x)＝xex－2e(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝1－xex，由m′(x)0得x1时，m(x)为减函数，由m′(x)0得0x1时，m(x)为增函数，易知m(x)max＝m(1)＝－1e，当且仅当x＝1时取到．从而对一切x∈(0，＋∞)，xlnx≥－1e≥xex－2e，两个等号不同时取到，即证对一切x∈(0，＋∞)都有lnx1ex－2ex成立．在证明的不等式中，若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明．[典例引领](2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜x－1lnx＜x；(3)设c＞1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.构造函数证明不等式【解】(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．(2)证明：由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，lnx＜x－1，ln1x＜1x－1，即1＜x－1lnx＜x.(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc，令g′(x)＝0，解得x0＝lnc－1lnclnc.当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．由(2)知1＜c－1lnc＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.若证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明h(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)g(x)，x∈(a，b)．[典例引领]若函数f(x)＝ex－ax－1(a0)在x＝0处取极值．(1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值；(2)证明1＋12＋13＋…＋1nln(n＋1)(n∈N*)．赋值法证明正整数不等式【解】(1)因为x＝0是函数极值点，所以f′(0)＝0，所以a＝1.f(x)＝ex－x－1，易知f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，故极值f(0)是函数最小值．(2)证明：由(1)知ex≥x＋1.即ln(x＋1)≤x，当且仅当x＝0时，等号成立，令x＝1k(k∈N*)，则1kln1＋1k，即1kln1＋kk，所以1kln(1＋k)－lnk(k＝1，2，…，n)，累加得1＋12＋13＋…＋1nln(n＋1)(n∈N*)．(1)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少2个问号，已知的不等式常由第一个问号根据待证式的待征而得到．(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如exx＋1可化为ln(x＋1)x等．利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)．(2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如证f(x)≥g(x)在D上成立，只需证明f(x)min≥g(x)max即可．(3)若所证函数不等式通过移项后构成新函数的最值易求，可直接通过移项构造函数证明．构造函数法证明不等式步骤如下：①作辅助函数h(x)，一般取不等号两端的函数之差或之商为辅助函数；②对h(x)求导，并确定h′(x)在区间上的符号；③判断h(x)的单调性；④求出h(x)在所给区间上的极值；⑤根据函数单调性或极值的符号证明所需证明的不等式．若所证不等式两边关于某一变量的关系式的构成比较复杂，直接构造函数后不易求导数或所求导数式不易研究函数性质，可先换元后再求解．