2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值课件 理 新人教A

第3讲导数与函数的极值、最值第三章导数及其应用1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_____________，右侧_____________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_____________，右侧_____________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)＜0[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点；(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值；(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)3．极值与最值的区别与联系(1)区别函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值函数的最值函数的极值可能不止一个，也可能一个没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于函数的最小值(2)联系①当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；②极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()(2)导数为零的点不一定是极值点．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(教材习题改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个．所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．eB．1C．－1D．－e解析：选C.函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝1x－1＝1－xx，令y′＝0得x＝1，当x∈(0，1)时，y′0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1.已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.答案：2(教材习题改编)函数y＝x＋2cosx在区间0，π2上的最大值是________．解析：y′＝1－2sinx，令y′＝0，又因为x∈0，π2，解得x＝π6，则当x∈0，π6时，y′＞0；当x∈π6，π2时，y′＜0，故函数y＝x＋2cosx在x＝π6时取得最大值π6＋3.答案：π6＋3函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有．高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：(1)由图判断函数极值的情况；(2)已知函数解析式求极值；(3)已知函数极值求参数值或范围．函数的极值问题(高频考点)[典例引领]角度一由图判断函数极值的情况(2017·高考浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()【解析】原函数先减再增，再减再增，且x＝0位于增区间内，故选D.【答案】D角度二已知函数解析式求极值(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝lnx－12ax2＋x，a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数g(x)的极值．【解】(1)当a＝0时，f(x)＝lnx＋x，则f(1)＝1，所以切点为(1，1)，又f′(x)＝1x＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)g(x)＝f(x)－(ax－1)＝lnx－12ax2＋(1－a)x＋1，则g′(x)＝1x－ax＋(1－a)＝－ax2＋（1－a）x＋1x，当a≤0时，因为x＞0，所以g′(x)＞0.所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，函数g(x)无极值点．当a＞0时，g′(x)＝－ax2＋（1－a）x＋1x＝－a（x－1a）（x＋1）x，令g′(x)＝0得x＝1a.所以当x∈(0，1a)时，g′(x)＞0；当x∈(1a，＋∞)时，g′(x)＜0.因为g(x)在(0，1a)上是增函数，在(1a，＋∞)上是减函数．所以x＝1a时，g(x)有极大值g(1a)＝ln1a－a2×1a2＋(1－a)·1a＋1＝12a－lna.综上，当a≤0时，函数g(x)无极值；当a＞0时，函数g(x)有极大值12a－lna，无极小值．角度三已知函数极值求参数值或范围(2018·高考北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．【解】(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a12，则当x∈1a，2时，f′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．当a≤12，则当x∈(0，2)时，x－20，ax－1≤12x－10，所以f′(x)0.所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是12，＋∞.(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒]若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1解析：选A.因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)0，解得x－2或x1，令f′(x)0，解得－2x1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1，选择A.2．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．解：(1)当a＝12时，f(x)＝lnx－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝1x－12＝2－x2x，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表．x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值．(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－axx(x＞0)，当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a＞0时，当x∈0，1a时，f′(x)＞0，当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0，故函数在x＝1a处有极大值．综上所述，当a≤0时，函数在定义域上无极值点，当a＞0时，函数在x＝1a处有一个极大值点．[典例引领](2017·高考浙江卷)已知函数f(x)＝(x－2x－1)e－x(x≥12)．(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间12，＋∞上的取值范围．函数的最值问题【解】(1)因为(x－2x－1)′＝1－12x－1，(e－x)′＝－e－x，所以f′(x)＝1－12x－1e－x－(x－2x－1)·e－x＝（1－x）（2x－1－2）e－x2x－1x12.(2)由f′(x)＝（1－x）（2x－1－2）e－x2x－1＝0，解得x＝1或x＝52.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1212，111，525252，＋∞f′(x)－0＋0－f(x)12e－12012e－52又f(x)＝12(2x－1－1)2e－x≥0，所以f(x)在区间12，＋∞上的取值范围是.求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[通关练习]1．函数f(x)＝x22x＋1在－13，1上的最小值与最大值的和为()A．13B．23C．1D．0当f′(x)＝0时，x＝0；当f′(x)0时，－13≤x0；当f′(x)0时，0x≤1.所以f(x)在－13，0上是减函数，在(0，1]上是增函数．所以f(x)min＝f(0)＝0.又f－13＝13，f(1)＝13.所以f(x)的最大值与最小值的和为13.解析：选A.f′(x)＝2x（2x＋1）－2x2（2x＋1）2＝2x（x＋1）（2x＋1）2，x∈－13，1，2．(2019·贵阳市检测)已知函数f(x)＝x－1x－lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[1e，e]上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．解：(1)f(x)＝x－1x－lnx＝1－1x－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝1x2－1x＝1－xx2，所以f′(x)＞0⇒0＜x＜1，f′(x)＜0⇒x＞1，所以f(x)＝1－1x－lnx在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)