2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3 第3讲 导数与函数的极值、最值课件 文 新人

第3讲导数与函数的极值、最值第三章导数及其应用1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_____________，右侧_____________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)0f′(x)＞0函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧____________，右侧_______________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)0[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则_____________为函数的最小值，_____________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则_____________为函数的最大值，_____________为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)3．极值与最值的区别与联系极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个也没有，而最值最多有一个．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()(2)导数为零的点不一定是极值点．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)函数的极大值一定是函数的最大值．()(5)开区间上的单调连续函数无最值．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√(教材习题改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个．所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．eB．1C．－1D．－e解析：选C.函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝1x－1＝1－xx，令y′＝0得x＝1，当x∈(0，1)时，y′0，函数单调递增；当x∈(1，e]时，y′0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1.已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.答案：2(教材习题改编)函数y＝x＋2cosx在区间0，π2上的最大值是________．解析：y′＝1－2sinx，令y′＝0，又因为x∈0，π2，解得x＝π6，则当x∈0，π6时，y′＞0；当x∈π6，π2时，y′0，故函数y＝x＋2cosx在x＝π6时取得最大值π6＋3.答案：π6＋3函数的极值问题(多维探究)角度一求已知函数的极值已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．【解】(1)当a＝12时，f(x)＝lnx－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝1x－12＝2－x2x，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值．(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－axx(x0)，当a≤0时，f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，当x∈0，1a时，f′(x)0，当x∈1a，＋∞时，f′(x)0，故函数在x＝1a处有极大值．综上所述，当a≤0时，函数在定义域上无极值点，当a0时，函数在x＝1a处有一个极大值点．利用导数研究函数极值问题的一般流程角度二已知函数的极值求参数值(范围)(2018·高考北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【解】(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.f′(2)＝(2a－1)e2.由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝12.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.若a1，则当x∈1a，1时，f′(x)0;当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－10，所以f′(x)0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒]若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．1．(2019·梅州期末)已知函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析：选C.由函数y＝f(x)导函数的图象可知：当x－1或3x5时，f′(x)0，f(x)单调递减；当－1x3或x5时，f′(x)0，f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)；单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，故选C.2．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a－b＝________．解析：由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则a2＋3a－b－1＝0，b－6a＋3＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.答案：－73．设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．(1)当a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．解：f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函数图象过点(0，1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)0，解得x13或x1；令f′(x)0，解得13x1.所以函数f(x)在－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在13，1上单调递减，极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；②当a0时，f′(x)≥0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥43.综上，a的取值范围为43，＋∞.函数的最值问题(师生共研)(2019·贵阳市检测)已知函数f(x)＝x－1x－lnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[1e，e]上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．【解】(1)f(x)＝x－1x－lnx＝1－1x－lnx，f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝1x2－1x＝1－xx2，所以f′(x)＞0⇒0x1，f′(x)0⇒x＞1，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f(x)在[1e，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f(x)在[1e，e]上的极大值为f(1)＝1－11－ln1＝0.又f(1e)＝1－e－ln1e＝2－e，f(e)＝1－1e－lne＝－1e，且f(1e)f(e)．所以f(x)在[1e，e]上的最大值为0，最小值为2－e.求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．1．(2019·河北省九校第二次联考)函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A．1＋ln2B．1－ln2C.1＋ln22D.1－ln22解析：选C.因为f(x)＝x2－lnx(x0)．所以f′(x)＝2x－1x，令2x－1x＝0得x＝22，令f′(x)0，则x22；令f′(x)0，则0x22.所以f(x)在0，22上单调递减，在22，＋∞上单调递增，所以f(x)的极小值(也是最小值)为222－ln22＝1＋ln22，故选C.2．(2019·长春市质量监测(二))已知函数f(x)＝(a－1)lnx－ax－x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若函数f(x)在[1，3]上的最大值为－2，求实数a的值．解：(1)a＝2时，f(x)＝lnx－2x－x，f′(x)＝1x＋2x2－1，f(2)＝ln2－3，f′(2)＝0，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＝ln2－3.(2)f′(x)＝a－1x＋ax2－1＝－（x＋1）（x－a）x2(1≤x≤3)，当a≤1时，f′(x)≤0，f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(1)＝－2，a＝1；当a≥3时，f′(x)≥0，f(x)在[1，3]上单调递增，所以f(3)＝－2，a＝ln3＋1ln3－133，舍去；当1a3时，f(x)在(1，a)上单调递增，在(a，3)上单调递减，所以f(a)＝－2，a＝e.综上，a＝1或a＝e.函数极值与最值的综合应用(师生共研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cex(a0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．【解】(1)f′(x)＝（2ax＋b）ex－（ax2＋bx＋c）ex（ex）2＝－ax2＋（2a－b）x＋b－cex.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同