2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第4讲 基本不等式课件 理 新人教A版

第4讲基本不等式第七章不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．a＝ba＋b2ab2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥________(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．2ab23．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最小值是________．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当________时，xy有最大值是________．(简记：和定积最大)x＝y2px＝ys24判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)ab≤a＋b22成立的条件是ab0.()(3)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．()(4)若a0，则a3＋1a2的最小值是2a.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(教材习题改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82解析：选C.xy≤x＋y22＝1822＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.若x0，则x＋1x()A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x0，所以－x0，－x＋1－x≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：5(教材习题改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，所以S＝xy≤x＋y22＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．答案：25m2利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：(1)求不含等式条件的函数最值；(2)求含有等式条件的函数最值；(3)已知不等式恒成立求参数范围．利用基本不等式求最值(高频考点)[典例引领]角度一求不含等式条件的函数最值(1)函数f(x)＝xx2＋3x＋1(x0)的最大值为________．(2)已知x54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)因为x0，则f(x)＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1x时等号成立．(2)因为x54，所以5－4x0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.【答案】(1)15(2)1角度二求含有等式条件的函数最值(1)(2018·高考天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．(2)已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．【解析】(1)由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋18b＝23b－6＋123b≥223b－6×123b＝2×2－3＝14，当且仅当23b－6＝123b，即b＝1时等号成立．(2)因为x0，y0，所以8＝x＋2y＋x·2y≤(x＋2y)＋x＋2y22，令x＋2y＝t，则8≤t＋t24，即t2＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8，即x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．【答案】(1)14(2)4角度三已知不等式恒成立求参数范围已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．【解析】(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥1＋a＋2a＝(a＋1)2(x，y，a0)，当且仅当y＝ax时取等号，所以(x＋y)·1x＋ay的最小值为(a＋1)2，于是(a＋1)2≥9恒成立．所以a≥4.【答案】4利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．[通关练习]1．(2019·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l：ax＋by－ab＝0(a0，b0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，则3a＋2b＝1，所以a＋b＝(a＋b)3a＋2b＝5＋3ba＋2ab≥5＋26.当且仅当3ba＝2ab，即a＝3＋6，b＝2＋6时等号成立．答案：5＋262．(2017·高考天津卷)若a，b∈R，ab0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．解析：因为ab＞0，所以a4＋4b4＋1ab≥24a4b4＋1ab＝4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当a2＝2b2，ab＝12时取等号，故a4＋4b4＋1ab的最小值是4.答案：43．当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋20恒成立，则k的取值范围是________．解析：由32x－(k＋1)·3x＋20，解得k＋13x＋23x.因为3x＋23x≥22当且仅当3x＝23x，即x＝log32时，等号成立)，所以3x＋23x的最小值为22.又当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋20恒成立，所以当x∈R时，k＋13x＋23xmin，即k＋122，即k22－1.答案：(－∞，22－1)[典例引领]某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？利用基本不等式解决实际问题【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为x∈[400，600]，所以S∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项①根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．③解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．④在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2)此类问题还常与一元二次函数(如本例(2))、一元二次不等式结合命题，求解关键是构建函数与不等关系，在实际条件下解决．某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入12(x2＋x)万元作为技改费用，投入x4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的销售价格提高a元，则(10－a)(5＋a)≥50，解得0≤a≤5.所以商品的价格最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx＝12(x2＋x)＋x4＋50(x5)即可，此时m＝12x＋34＋50x≥2x2·50x＋34＝434，当且仅当12x＝50x，即x＝10时，取“＝”．故销售量至少应达到434万件，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋mx(m0)的单调性．易错防范(1)使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．