2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教A版

第2讲一元二次不等式及其解法第七章不等式1．一元一次不等式axb(a≠0)的解集(1)当a0时，解集为_____________；(2)当a0时，解集为_____________．xxbaxxba2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集_________________________________________ax2＋bx＋c0(a0)的解集________________________________{x|xx2或xx1}xx≠－b2aR{x|x1xx2}∅∅3.分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0(0)⇔f(x)g(x)0(0)；(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f（x）g（x）≥0（≤0），g（x）≠0.4．绝对值不等式的解法(1)|f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2[g(x)]2；(2)|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)－g(x)；(3)|f(x)|g(x)⇔－g(x)f(x)g(x)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)不等式2x2－x－30的解集为()A.x－1x32B.xx32或x－1C.x－32x1D.xx1或x－32解析：选B.2x2－x－30⇒(x＋1)(2x－3)0，解得x32或x－1.所以不等式2x2－x－30的解集为xx32或x－1.不等式x－12x＋1≤0的解集为()A.－12，1B.－12，1C.－∞，－12∪[1，＋∞)D.－∞，－12∪[1，＋∞)解析：选A.由不等式x－12x＋1≤0，可得（x－1）（2x＋1）≤0，2x＋1≠0，解得－12x≤1，所以不等式的解集为－12，1.设二次不等式ax2＋bx＋10的解集为x－1x13，则ab的值为________．解析：由不等式ax2＋bx＋10的解集为x－1x13，知a0且ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－1＋13＝－ba，－13＝1a，所以a＝－3，b＝－2，ab＝6.答案：6若不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．解析：因为不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，所以Δ＝a2－4×40，即a216.所以a4或a－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下三个命题角度：(1)解不含参数的一元二次不等式；(2)解含参数的一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．一元二次不等式的解法(高频考点)[典例引领]角度一解不含参数的一元二次不等式(1)解不等式：－x2－2x＋3≥0；(2)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x0，解不等式f(x)3.【解】(1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(2)由题意x≥0，x2＋2x3或x0，－x2＋2x3，解得x1.故原不等式的解集为{x|x1}．角度二解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x的不等式：12x2－axa2(a∈R)．【解】因为12x2－axa2，所以12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.①当a0时，－a4a3，解集为xx－a4，或xa3；②当a＝0时，x20，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a0时，－a4a3，解集为xxa3，或x－a4.综上所述：当a0时，不等式的解集为xx－a4，或xa3；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a0时，不等式的解集为xxa3，或x－a4.角度三已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax2－bx－10的解集是x－12x－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．【解析】由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a0，所以－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.【答案】{x|x≥3或x≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[通关练习]1．(2019·陕西西安模拟)若集合A＝xxx－1≤0，B＝{x|x22x}，则A∩B＝()A．{x|0x1}B．{x|0≤x1}C．{x|0x≤1}D．{x|0≤x≤1}解析：选A.因为A＝xxx－1≤0＝{x|0≤x1}，B＝{x|x22x}＝{x|0x2}，所以A∩B＝{x|0x1}，故选A.2．(2019·广东清远一中模拟)关于x的不等式ax－b0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1，3)C．(－1，3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C.关于x的不等式ax－b0的解集是(1，＋∞)，即不等式axb的解集是(1，＋∞)，所以a＝b0，所以不等式(ax＋b)(x－3)0可化为(x＋1)(x－3)0，解得－1x3，所以所求解集是(－1，3)．故选C.3．不等式0x2－x－2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于x2－x－20，x2－x－2≤4，即x2－x－20，x2－x－6≤0，即（x－2）（x＋1）0，（x－3）（x＋2）≤0，解得x2或x－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x－1或2x≤3}．答案：[－2，－1)∪(2，3]一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围；(3)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围．一元二次不等式恒成立问题(高频考点)[典例引领]角度一形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】当a－2＝0，即a＝2时不等式为－40，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则a－20，Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）0，即a2－2a2，解得－2a2.所以实数a的取值范围是(－2，2]．【答案】(－2，2]角度二形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围(转化与化归思想)若不等式x2＋mx－10对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．【解析】由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需f（m）＝m2＋m2－10，f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－10，即2m2－10，2m2＋3m0，解得－22m0.【答案】－22，0角度三形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．【解】将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋90.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，则－1≤a≤1.因为f(a)0在|a|≤1时恒成立，所以(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得f（－1）0，f（1）0，即x2－7x＋120，x2－5x＋60，解得x2或x4.则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f(x)≥0在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)求解不等式恒成立问题的数学思想求解此类问题常利用分类讨论思想及转化与化归思想，如例2­2是不等式与函数的转化，例2­3是主元与次元的转化，而例2­1是对二次项系数是否为0进行讨论．[通关练习]1．若函数y＝mx2－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是________．解析：要使y＝mx2－（1－m）x＋m有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，则m0，（1－m）2－4m2≤0，解得m≥13.答案：m≥132．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：因为不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，所以4x－2x＋1≥a在[1，2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．易错防范(1)对于