2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 4 第4讲 基本不等式课件 文 新人教A版

第4讲基本不等式第七章不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当_______时取等号．(3)其中_______称为正数a，b的算术平均数，_______称为正数a，b的几何平均数．a＝ba＋b2ab2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥_______(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥____(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．2ab23．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_______时，x＋y有最小值是_______．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当_______时，xy有最大值是____．(简记：和定积最大)x＝y2px＝ys24判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．()(4)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(教材习题改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82解析：选C.xy≤x＋y22＝1822＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.若x0，则x＋1x()A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x0，所以－x0，－x＋1－x≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：5(教材习题改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，所以S＝xy≤x＋y22＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．答案：25m2(1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)(2018·高考天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为____________．(3)已知a0，b0，a＋b＝1，则1＋1a1＋1b的最小值为________．利用基本不等式求最值(典例迁移)【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)由题知a－3b＝－6，因为2a0，8b0，所以2a＋18b≥2×2a×18b＝2×2a－3b＝14，当且仅当2a＝18b，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．(3)1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．【答案】(1)23(2)14(3)9[迁移探究1](变问法)若本例(3)中的条件不变，则1a＋1b的最小值为________．解析：因为a0，b0，a＋b＝1，所以1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立．答案：4[迁移探究2](变条件)若本例条件变为：已知a0，b0，4a＋b＝4，则1＋1a1＋1b的最小值为________．解析：由4a＋b＝4得a＋b4＝1，1＋1a1＋1b＝1＋a＋b4a1＋a＋b4b＝2＋b4a54＋ab＝52＋2ab＋5b16a＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a＝5b时取等号．答案：114＋102利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．1．(2019·南昌市摸底调研)已知函数y＝x＋mx－2(x2)的最小值为6，则正数m的值为________．解析：因为x2，m0，所以y＝x－2＋mx－2＋2≥2（x－2）·mx－2＋2＝2m＋2，当x＝2＋m时取等号，又函数y＝x＋mx－2(x2)的最小值为6，所以2m＋2＝6，解得m＝4.答案：42．(一题多解)(2019·长沙市统一模拟考试)若a0，b0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为________．解析：法一：由于a＋b＝ab≤a＋b24，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号．法二：由题意，得1a＋1b＝1，所以a＋b＝(a＋b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．法三：由题意知a＝bb－1(b1)，所以a＋b＝bb－1＋b＝2＋b－1＋1b－1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．答案：43．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥1＋a＋2a＝(a＋1)2(x，y，a0)，当且仅当y＝ax时取等号，所以(x＋y)1x＋ay的最小值为(a＋1)2，于是(a＋1)2≥9恒成立．所以a≥4.答案：4某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．利用基本不等式解决实际问题(师生共研)(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为x∈[400，600]，所以S∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(2)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：设泳池的长为x米，则宽为200x米，总造价f(x)＝400×2x＋2×200x＋100×200x＋60×200＝800×x＋225x＋12000≥1600x·225x＋12000＝36000(元)，当且仅当x＝225x(x0)，即x＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．