2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 2 第2讲 一元二次不等式及其解法课件 文 新人教A版

第2讲一元二次不等式及其解法第七章不等式1．一元一次不等式axb(a≠0)的解集(1)当a0时，解集为_________．(2)当a0时，解集为_________．xxbaxxba2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c0(a0)的解集_________________________________________ax2＋bx＋c0(a0)的解集______________________{x|xx2或xx1}xx≠－b2aR{x|x1xx2}∅∅常用知识拓展1．分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0(0)⇔f(x)g(x)0(0)．(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f（x）g（x）≥0（≤0），g（x）≠0.2．绝对值不等式的解法(1)|f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2[g(x)]2.(2)|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)－g(x)．(3)|f(x)|g(x)⇔－g(x)f(x)g(x)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√已知A＝{x|－4x1}，B＝{x|x2－x－60}，则A∪B等于()A．(－3，1)B．(－2，1)C．(－4，2)D．(－4，3)解析：选D.因为A＝{x|－4x1}＝(－4，1)，B＝{x|x2－x－60}＝(－2，3)，所以A∪B＝(－4，3)．故选D.|x|·(1－2x)0的解集为()A.(－∞，0)∪0，12B.－∞，12C.12，＋∞D.0，12解析：选A.原不等式等价于1－2x0，x≠0，解不等式组可得实数x的取值范围是(－∞，0)∪0，12.设二次不等式ax2＋bx＋10的解集为x－1x13，则ab的值为________．解析：由不等式ax2＋bx＋10的解集为x－1x13，知a0且ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－1＋13＝－ba，－13＝1a，所以a＝－3，b＝－2，ab＝6.答案：6若不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．解析：因为不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，所以Δ＝a2－4×40，即a216.所以a4或a－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)角度一解不含参数的一元二次不等式(1)解不等式：－x2－2x＋3≥0；(2)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x0，解不等式f(x)3.一元二次不等式的解法(多维探究)【解】(1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(2)由题意x≥0，x2＋2x3或x0，－x2＋2x3，解得x1.故原不等式的解集为{x|x1}．角度二解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x的不等式：12x2－axa2(a∈R)．【解】因为12x2－axa2，所以12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.①当a0时，－a4a3，解集为xx－a4，或xa3；②当a＝0时，x20，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a0时，－a4a3，解集为xxa3，或x－a4.综上所述：当a0时，不等式的解集为xx－a4，或xa3；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a0时，不等式的解集为xxa3，或x－a4.(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．1．已知集合M＝{x|3x－x20}，N＝{x|x2－4x＋30}，则M∩N＝()A．(0，1)B．(1，3)C．(0，3)D．(3，＋∞)解析：选A.将M中不等式变形，得x(x－3)0，解得0x3，即M＝(0，3)．将N中不等式变形，得(x－1)(x－3)0，解得x1或x3，即N＝(－∞，1)∪(3，＋∞)．则M∩N＝(0，1)．故选A.2．不等式0x2－x－2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于x2－x－20，x2－x－2≤4，即x2－x－20，x2－x－6≤0，即（x－2）（x＋1）0，（x－3）（x＋2）≤0，解得x2或x－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|－2≤x－1或2x≤3}．答案：[－2，－1)∪(2，3]3．解不等式ax2－(a＋1)x＋10(a0)．解：因为a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0.①当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)0无解；②当a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1ax1；③当0a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1x1a.综上所述：当0a1时，解集为x|1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x|1ax1.角度一形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．一元二次不等式恒成立问题(多维探究)【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－40，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则a－20，Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）0，即a2－2a2，解得－2a2.所以实数a的取值范围是(－2，2]．【答案】(－2，2]角度二形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围(2019·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a0，则实数a的取值范围是________．【解析】设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a0，所以Δ0或Δ≥0，1≤a－2≤5，f（1）≥0，f（5）≥0，解得1a4或4≤a≤5，即1a≤5.【答案】(1，5]角度三形如f(x)≥0(f(x)≤0)(参数m∈[a，b])确定x的范围求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．【解】将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋90.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，则－1≤a≤1.因为f(a)0在|a|≤1时恒成立，所以(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得f（－1）0，f（1）0，即x2－7x＋120，x2－5x＋60，解得x2或x4.则实数x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．(2)x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(如例2－3)[注意]解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．1．若函数y＝mx2－（1－m）x＋m的定义域为R，则m的取值范围是________．解析：要使y＝mx2－（1－m）x＋m有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，则m0，（1－m）2－4m2≤0，解得m≥13.答案：13，＋∞2．设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：要使f(x)－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即mx－122＋34m－60在x∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．当m0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－60，所以m67，所以0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－60，所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是mm67.法二：因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因为m(x2－x＋1)－60，所以m6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m67即可．所以，m的取值范围是mm67.转化与化归思想在不等式中的应用(2019·内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax2－x－c0的解集为{x|－2x1}，则函数y＝f(－x)的图象为()【解析】由题意得a0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a＝－1，c＝－2，则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，结合选项可知选C.【答案】C本例利用了转化思想，其思路为(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(如本例)，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．设a，b是关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个实根，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值是()A．－494B．18C．8D．－6解析：选C.因为关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个根为a，b，所以a＋b＝2m，ab＝m＋6，且Δ＝4(m2－m－6)≥0，解得m≥3或m≤－2.所以y＝(a－1)2＋(b－1)2＝(a＋b)2－2ab－2(a＋b)＋2