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第七章不等式知识点考纲下载不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.第七章不等式知识点考纲下载基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.简单不等式的解法会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.第七章不等式第1讲不等关系与不等式第七章不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b0⇔_________；a－b＝0⇔_________；a－b0⇔_________．2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒_________．aba＝baba＞c(3)可加性：a＞b⇒a＋c_____b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c_____b＋d.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(5)可乘方：a＞b＞0⇒an_____bn(n∈N，n≥1)．(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．＞＞＞常用知识拓展倒数性质(1)ab，ab0⇒1a1b.(2)a0b⇒1a1b.(3)ab0，dc0⇒acbd.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种．()(2)若ab1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()(4)同向不等式具有可加性和可乘性．()(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)·(x－4)，则A与B的大小关系为()A．A≥BB．A＞BC．A≤BD．AB解析：选B.A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以A＞B.故选B.设ab，a，b，c∈R，则下列结论正确的是()A．ac2bc2B.ab1C．a－cb－cD．a2b2解析：选C.当c＝0时，ac2＝bc2，所以选项A错误；当b＝0时，ab无意义，所以选项B错误；因为ab，所以a－cb－c恒成立，所以选项C正确；当a≤0时，a2b2，所以选项D错误．故选C.12－1________3＋1(填“”或“”)．解析：12－1＝2＋13＋1.答案：下列不等式中恒成立的是__________．①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m.解析：m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立；5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．答案：①②(1)已知ab0，m0，则()A.ba＝b＋ma＋mB.bab＋ma＋mC.bab＋ma＋mD.ba与b＋ma＋m的大小关系不确定比较两个数(式)的大小(典例迁移)(2)若a＝ln33，b＝ln22，比较a与b的大小．【解】(1)选C.ba－b＋ma＋m＝b（a＋m）－a（b＋m）a（a＋m）＝m（b－a）a（a＋m）.因为ab0，m0.所以b－a0，a＋m0，所以m（b－a）a（a＋m）0.即ba－b＋ma＋m0.所以bab＋ma＋m.(2)因为a＝ln33＞0，b＝ln22＞0，所以ab＝ln33·2ln2＝2ln33ln2＝ln9ln8＝log89＞1，所以a＞b.[迁移探究]若本例(1)的条件不变，试比较ba与b－ma－m的大小．解：ba－b－ma－m＝b（a－m）－a（b－m）a（a－m）＝m（a－b）a（a－m）.因为ab0，m0.所以a－b0，m(a－b)0.(1)当am时，a(a－m)0，所以m（a－b）a（a－m）0，即ba－b－ma－m0，故bab－ma－m.(2)当am时，a(a－m)0.所以m（a－b）a（a－m）0，即ba－b－ma－m0，故bab－ma－m.比较大小常用的方法[提醒]用作差法比较大小的关键是对差进行变形，常用的变形有通分、因式分解、配方等．1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．ABD．AB解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.解：因为a2b＋b2a－(a＋b)＝a3＋b3－a2b－ab2ab＝a2（a－b）＋b2（b－a）ab＝（a－b）（a2－b2）ab＝（a－b）2（a＋b）ab.又因为a0，b0，所以（a－b）2（a＋b）ab≥0，故a2b＋b2a≥a＋b.2．比较a2b＋b2a与a＋b(a0，b0)两个代数式的大小．(1)(特值法)设a，b∈R，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)若a＞0＞b＞－a，cd0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是()A．1B．2C．3D．4不等式的性质(师生共研)【解析】(1)当b0时，显然有ab⇔a|a|b|b|；当b＝0时，显然有ab⇔a|a|b|b|；当b0时，由ab有|a||b|，所以ab⇔a|a|b|b|.综上可知ab⇔a|a|b|b|，故选C.(2)因为a＞0＞b，cd0，所以ad0，bc＞0，所以adbc，故①错误．因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为cd0，所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd0，所以ad＋bc＝ac＋bdcd0，故②正确．因为cd，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故③正确．因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选C.【答案】(1)C(2)C判断关于不等式的命题的真假的方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．1．若ab0，cd0，则一定有()A.adbcB.adbcC.acbdD.acbd解析：选B.因为cd0，所以1d1c0，所以－1d－1c0.而ab0，所以－ad－bc0，所以adbc.故选B.2．已知abc且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2b2c2B．a|b|c|b|C．bacaD．cacb解析：选D.因为abc且a＋b＋c＝0，所以a0，c0，b的符号不定，对于ba，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．已知－1x4，2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．不等式性质的应用(典例迁移)【解析】因为－1x4，2y3，所以－3－y－2，所以－4x－y2.由－1x4，2y3，得－33x12，42y6，所以13x＋2y18.【答案】(－4，2)(1，18)[迁移探究1](变条件)若将本例条件改为“－1xy3”，求x－y的取值范围．解：因为－1x3，－1y3，所以－3－y1，所以－4x－y4.又因为x＜y，所以x－y0，所以－4x－y0，故x－y的取值范围为(－4，0)．[迁移探究2](变条件)若将本例条件改为“－1x＋y4，2x－y3”，求3x＋2y的取值范围．解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则m＋n＝3，m－n＝2，所以m＝52，n＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又因为－1x＋y4，2x－y3，所以－5252(x＋y)10，112(x－y)32，所以－3252(x＋y)＋12(x－y)232，即－323x＋2y232，所以3x＋2y的取值范围为－32，232.求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．1．设α∈－π6，π2，β∈[0，π]，那么2α－β3的取值范围是()A.0，2π3B.－π3，2π3C.－π3，2π3D.－2π3，π解析：选D.由题设得－π32απ，0≤β3≤π3，所以－π3≤－β3≤0，所以－2π32α－β3＜π.2．(2019·长春市质量检测一)已知角α，β满足－π2α－βπ2，0α＋βπ，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则m＋n＝3，n－m＝－1，解得m＝2，n＝1.因为－π2α－βπ2，0α＋βπ，所以－π2(α－β)π，故－π3α－β2π.答案：(－π，2π)