2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 5 第5讲 数列的综合应用课件 文 新人教A版

第六章数列第5讲数列的综合应用(2018·高考北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.等差数列与等比数列的综合问题(师生共研)【解】(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)因为ea1＝eln2＝2，eanean－1＝ean－an－1＝eln2＝2，所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)＝2n＋1－2.等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．[提醒]在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，所以a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.(2)设{bn}的公差为d.由T3＝15，即b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故b1＝5－d，b3＝5＋d.又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d＝2或d＝－10.因为等差数列{bn}的各项为正，所以d0.所以d＝2，b1＝3，所以Tn＝3n＋n（n－1）2×2＝n2＋2n.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？数列的实际应用与数学文化(师生共研)【解】假如我们设最初有a1个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为a2，a3，a4，a5，a6，得到一个数列{an}，依题意，可知数列的递推公式：an＋1＝an－15(an－1)－1，即an＋1＝45(an－1)，整理变形，得an＋1＋4＝45(an＋4)．故{an＋4}是以45为公比的等比数列，所以a6＋4＝(a1＋4)455，欲使(a6＋4)∈N*，应有a1＋4＝55m(m∈N*)，故最初至少有桃子a1＝55－4＝3121个，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1020个．数列实际应用中的常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．1．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》中有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”()A．439B．778C．776D．581解析：选B.设得金最多的一等人得金数为首项为a1，公差为d的等差数列，则a1＋a2＋a3＝4，a10＋a9＋a8＋a7＝3，即3a1＋3d＝4，4a1＋30d＝3，解得a1＝3726，d＝－778.因此每等人比下等人多得778斤．2．某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元．解：设an为(2010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1000－500＝1500，a2＝2×1500－500＝2500，…，an＝2an－1－500(n≥2)．所以an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，因此数列{an－500}是以a1－500＝1000为首项，2为公比的等比数列，所以an－500＝1000×2n－1，所以an＝1000×2n－1＋500.(1)因为a4＝1000×24－1＋500＝8500，所以该企业2014年年底分红后的资金为8500万元．(2)由an32500，即2n－132，得n6，所以该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元．设函数f(x)＝12＋1x，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f1an－1，n∈N*，且n≥2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，求证：1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1anan＋12.数列与函数、不等式的综合问题(师生共研)【解】(1)由an＝f1an－1，所以an＝12＋an－1，n∈N*，且n≥2，所以数列{an}是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋12(n－1)＝n＋12.(2)证明：由(1)可知1anan＋1＝4(n＋1)(n＋2)＝41n＋1－1n＋2，Sn＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1anan＋1＝4[12－13＋13－14＋14－15…＋(1n＋1－1n＋2)]＝412－1n＋2＝2－4n＋22，得证．数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法．(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；③比较方法：作差或者作商比较．(2019·洛阳市第一次统考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列1anan＋1的前n项和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由已知得，4a1＋6d＝14，(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2，d＝1或a1＝72，d＝0(舍去)，所以an＝n＋1.(2)由(1)知1anan＋1＝1n＋1－1n＋2，所以Tn＝12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2(n＋2).又λTn≤an＋1恒成立，所以λ≤2(n＋2)2n＝2n＋4n＋8，而2n＋4n＋8≥16，当且仅当n＝2时等号成立．所以λ≤16，即实数λ的最大值为16.