2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第10讲 圆锥曲线中的范围、最值问题课件 理 新

第10讲圆锥曲线中的范围、最值问题第九章平面解析几何[典例引领](2019·长春市质量检测(一))已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E3，32.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1→＝λF1B→，且2≤λ3，求直线l的斜率k的取值范围．范围问题【解】(1)由2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，a2＝b2＋c2，c＝1，解得a＝2，c＝1，b＝3.所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k0)，联立方程，得y＝k（x＋1），x24＋y23＝1，整理得3k2＋4y2－6ky－9＝0，Δ＝144k2＋1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝6k3＋4k2，y1y2＝－9k23＋4k2.又AF1→＝λF1B→，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝－λ（1－λ）2(y1＋y2)2，则（1－λ）2λ＝43＋4k2，λ＋1λ－2＝43＋4k2，因为2≤λ3，所以12≤λ＋1λ－243，即12≤43＋4k243，且k0，解得0k≤52.故直线l的斜率k的取值范围是0，52.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－34.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求OP→·OQ→＋MP→·MQ→的取值范围．解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4，0)，B(4，0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝yx＋4，k2＝yx－4.由k1k2＝－34，得yx＋4·yx－4＝－34，整理得x216＋y212＝1.故椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，得x216＋y212＝1y＝kx＋2，消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.所以x1＋x2＝－16k4k2＋3，x1x2＝－324k2＋3.从而，OP→·OQ→＋MP→·MQ→＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－80k2－524k2＋3＝－20＋84k2＋3.所以－20OP→·OQ→＋MP→·MQ→≤－523.当直线PQ的斜率不存在时，OP→·OQ→＋MP→·MQ→的值为－20.综上，OP→·OQ→＋MP→·MQ→的取值范围为－20，－523.圆锥曲线中的最值问题是每年高考的热点，常涉及不等式，函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变．主要命题角度有：(1)利用三角函数的有界性求最值；(2)数形结合利用几何性质求最值；(3)建立目标函数求最值；(4)利用基本不等式求最值．最值问题(高频考点)[典例引领]角度一利用三角函数的有界性求最值过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是()A．2B.2C．4D．22【解析】设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝21－cosθ，|BF|＝21＋cosθ，则|AF|·|BF|＝21－cosθ×21＋cosθ＝4sin2θ≥4.【答案】C角度二数形结合利用几何性质求最值已知椭圆C：x24＋y23＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为________．【解析】如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，所以|PF|＝4－|PF′|，所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4.当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝（2＋1）2＋16＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1.【答案】1角度三建立目标函数求最值(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A－12，14，B32，94，抛物线上的点P(x，y)－12x32.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．【解】(1)设直线AP的斜率为k，k＝x2－14x＋12＝x－12，因为－12x32，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1)．(2)联立直线AP与BQ的方程kx－y＋12k＋14＝0，x＋ky－94k－32＝0，解得点Q的横坐标是xQ＝－k2＋4k＋32（k2＋1）.因为|PA|＝1＋k2x＋12＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(xQ－x)＝－（k－1）（k＋1）2k2＋1，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减，因此当k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716.角度四利用基本不等式求最值(2019·太原模拟)已知椭圆M：x2a2＋y23＝1(a0)的一个焦点为F(－1，0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．(1)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．【解】(1)由题意，c＝1，b2＝3，所以a2＝4，所以椭圆M的方程为x24＋y23＝1，易求直线方程为y＝x＋1，联立方程，得x24＋y23＝1，y＝x＋1，消去y，得7x2＋8x－8＝0，Δ＝288，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1＋x2＝－87，x1x2＝－87，所以|CD|＝2|x1－x2|＝2（x1＋x2）2－4x1x2＝247.(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC面积相等，|S1－S2|＝0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，联立方程，得x24＋y23＝1，y＝k（x＋1），消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ0，且x1＋x2＝－8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝12|k|3＋4k2，因为k≠0，上式＝123|k|＋4|k|≤1223|k|·4|k|＝12212＝3当且仅当k＝±32时等号成立，所以|S1－S2|的最大值为3.圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率e＝12，且椭圆过点1，32.(1)求该椭圆的方程；(2)椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．则ca＝12，1a2＋94b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3.所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1AB的内切圆的半径为R，易知△F1AB的周长为4a＝8，则S△F1AB＝12(|AB|＋|F1A|＋|F1B|)R＝4R，所以当S△F1AB取得最大值时，R取得最大值，△F1AB的内切圆的面积取得最大值．由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，由x＝my＋1，x24＋y23＝1，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，所以y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4.则S△F1AB＝12|F1F2|·(y1－y2)＝12m2＋13m2＋4，令m2＋1＝t，则m2＝t2－1(t≥1)，所以S△F1AB＝12t3t2＋1＝123t＋1t(t≥1)，令f(t)＝3t＋1t(t≥1)，则f′(t)＝3－1t2，当t≥1时，f′(t)≥0，f(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，所以S△F1AB≤3，即当t＝1，即m＝0时，S△F1AB取得最大值，最大值为3，由S△F1AB＝4R，得Rmax＝34，所以所求内切圆面积的最大值为916π.故△F1AB的内切圆面积的最大值为916π，此时直线l：x＝1.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围．圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．求解范围、最值问题的两个易错点(1)求范围问题要注意变量自身的范围；(2)利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系．注意特殊关系，特殊位置的应用．