2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理 新人教

第9讲直线与圆锥曲线的位置关系第九章平面解析几何1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)___________b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)___________无公共点一个交点方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a≠0Δ＞0两个________的解__________Δ＝0两个相等的解__________Δ＜0无实数解__________(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．不相等两个交点一个交点无交点2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．()(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．()(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．()(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．()(5)过点(2，4)的直线与椭圆x24＋y2＝1只有一条切线．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()A．k＞－baB．k＜baC．k＞ba或k＜－baD．－ba＜k＜ba解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知－ba＜k＜ba.过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→的值为()A．－12B．－14C．－4D．无法确定解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－12，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由此得x1＋x2＝－k，x1x2＝－12，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1－12kx2－12＝(k2＋1)·x1x2－12k(x1＋x2)＋14＝－12(k2＋1)－12k·(－k)＋14＝－14.故选B.已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于____________．解析：由x－y－1＝0，y＝ax2，消去y得ax2－x＋1＝0，所以a≠0，1－4a＝0，解得a＝14.答案：14斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为____________．解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则x1＋x2＝－85t，x1x2＝4（t2－1）5.所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝2·－85t2－4×4（t2－1）5＝425·5－t2，当t＝0时，|AB|max＝4105.答案：4105[典例引领]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．直线与圆锥曲线的位置关系【解】(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得1b2＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由y2＝4x，y＝kx＋m，消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得k＝22，m＝2或k＝－22，m＝－2.所以直线l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，设其判别式为Δ，(1)Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交；(2)Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；(3)Δ＜0⇔直线与圆锥曲线相离．[提醒]注意讨论二次项系数是否为零．[通关练习]1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：32．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ0，即－32m32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．[典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．弦长问题【解】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝x214，y2＝x224，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝1.(2)由y＝x24，得y′＝x2.设M(x3，y3)，由题设知x32＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)0，即m－1时，x1，2＝2±2m＋1.从而|AB|＝2|x1－x2|＝42（m＋1）.由题设知|AB|＝2|MN|，即42（m＋1）＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．[提醒]两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．[通关练习]1．已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组y＝2（x－1），x25＋y24＝1，消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝53，x1x2＝0.则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝（1＋22）532－4×0＝553.答案：5532．(2019·太原市模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为____________．解析：因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝4，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝16k2＋16，因为|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝6，所以41＋1k2＝6，解得k＝±2，所以|y1－y2|＝16k2＋16＝26，所以△AOB的面积为12×1×26＝6.答案：6[典例引领]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．中点弦问题【解】(1)由题意有a2－b2a＝22，4a2＋2b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为x28＋y24＝1.(2)证明：法一：设直线l：y＝kx＋b1(k≠0，b1≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b1代入x28＋y24＝1，得(2k2＋1)x2＋4kb1x＋2b21－8＝0.故xM＝x1＋x22＝－2kb12k2＋1，yM＝k·xM＋b1＝b12k2＋1.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－12k，即kOM·k＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则x218＋y214＝1，①x228＋y224＝1，②①－②得（x1＋x2）（x1－x2）8＋（y1＋y2）（y1－y2）4＝0，即y1＋y2x1＋x2·y1－y2x1－x2＝－12.又y1＋y2＝2y0，x1＋x2＝2x0，所以2y02x0·kAB＝－12.即kOM·kAB＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－12.处理中点弦问题常用的求解方法[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．[通关练习]1．若点(3，1)是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是()A．1B．2C．3D．4解析：选B.设过点(3，1)的直线交抛物线y2＝2px(p＞0)于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝2px1①y22＝2px2②，由①－②得y21－y22＝2p(x1－x2)，即y1－y2x1－x2＝2py1＋y2，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB＝2py1＋y2＝2，所以p＝y1＋y2＝2.2．(2019·山西阳泉质检)椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为22，则mn的值为()A.22B.233C．1D．2解析：选A.法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，所以kOM＝y0x0＝22，kAB＝y2－y1x2－x1＝－1，由AB的中点为M可得x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.由A，B在椭圆上，可得mx21＋ny21＝1，mx22＋ny22＝1，两式相减可得m(x1－x2)(x1＋x2)＋n(y1－y2)(y1＋y2)＝0，则m(x1－x2)·2x0－n(x1－x2)·2y0＝0，整理可得mn＝22，故选A.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y